Câu 8 Trang 95 Sgk Hình Học 11 Nâng Cao

Câu 8 trang 95 SGK Hình học 11 Nâng cao

Câu 8 trang 95 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng trong chương trình Hình học 11 Nâng cao.

Bài toán này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, các phép toán vectơ, và các tính chất hình học để giải quyết. Việc nắm vững lý thuyết và phương pháp giải là chìa khóa để đạt điểm cao trong các bài kiểm tra.

Tại toan9.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cùng với các bài tập tương tự để giúp bạn hiểu sâu sắc và làm chủ bài toán này.

a. Cho vecto ... không cùng phương. Chứng minh rằng nếu vecto vuông góc với cả hai vecto

LG a

Cho vecto \(\overrightarrow n \) khác \(\overrightarrow 0 \) và hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) không cùng phương. Chứng minh rằng nếu vecto \(\overrightarrow n \) vuông góc với cả hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) thì ba vecto \(\overrightarrow n ,\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) không đồng phẳng.

Lời giải chi tiết:

Nếu \(\overrightarrow n ,\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) đồng phẳng thì có hai số k, l sao cho \(\overrightarrow n = k.\overrightarrow a + l.\overrightarrow b \)

suy ra \(\overrightarrow n .\overrightarrow n = k\overrightarrow a .\overrightarrow n + l\overrightarrow b .\overrightarrow n = 0 \) \(\Rightarrow {\left| {\overrightarrow n } \right|^2} = {\overrightarrow n ^2} = 0 \)

\(\Rightarrow \left| {\overrightarrow n } \right| = 0 \)

\(\Rightarrow \overrightarrow n = \overrightarrow 0 \) (vô lí)

vậy \(\overrightarrow n ,\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) không đồng phẳng

LG b

Chứng minh rằng ba vecto cùng vuông góc với vecto \(\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 \) thì đồng phẳng. Từ đó suy ra các đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì cùng song song với một mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Giả sử ba vecto cùng vuông góc với \(\overrightarrow n \) là \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \)

Tức là \(\overrightarrow a .\overrightarrow n = \overrightarrow b .\overrightarrow n = \overrightarrow c .\overrightarrow n = 0\)

Nếu \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vecto cùng phương thì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng

Nếu \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vecto không cùng phương thì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow n \) là ba vecto không đồng phẳng (điều này suy ra từ câu a)

Khi đó \(\overrightarrow c = x\overrightarrow a + y\overrightarrow b + z\overrightarrow n .\)

Nhân vô hướng hai vế với \(\overrightarrow n ,\) ta có \(\overrightarrow c .\overrightarrow n = x\overrightarrow a .\overrightarrow n + y\overrightarrow b .\overrightarrow n + z{\overrightarrow n ^2}\) suy ra \(z{\overrightarrow n ^2} = 0\,hay\,z = 0,\) tức là \(\overrightarrow c = x\overrightarrow a + y\overrightarrow b .\)

Vậy các vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng

Nếu ba đường thẳng d₁, d₂, d₃ cùng vuông góc với một đường thẳng thì do kết quả nêu trên, ta có ba vecto chỉ phương của ba đường thẳng d₁,d₂ ,d₃ đồng phẳng tức là ba đường thẳng d₁,d₂ ,d₃ cùng song song với một mặt phẳng.

Tự tin bứt phá Toán lớp 11 – nền tảng vững chắc mở lối vào giảng đường đại học! Khám phá ngay Câu 8 trang 95 SGK Hình học 11 Nâng cao, nội dung chiến lược thuộc chuyên mục Sách bài tập Toán 11 trên nền tảng tài liệu toán. Bộ bài tập lý thuyết toán thpt được biên soạn công phu, bám sát chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng, giúp học sinh hệ thống hóa kiến thức nâng cao, rèn luyện kỹ năng tư duy và giải toán hiệu quả. Với phương pháp tiếp cận trực quan, logic và mang tính ứng dụng thực tế cao, tài liệu này sẽ là người bạn đồng hành lý tưởng trên hành trình ôn luyện chuyên sâu. Đây chính là bước đệm quan trọng giúp các em phát triển toàn diện năng lực học tập và chinh phục mục tiêu học thuật dài hạn.

Giải Chi Tiết Câu 8 Trang 95 SGK Hình Học 11 Nâng Cao

Câu 8 trang 95 SGK Hình học 11 Nâng cao thường liên quan đến việc chứng minh đẳng thức vectơ, xác định điểm thỏa mãn điều kiện cho trước, hoặc tính toán liên quan đến tích vô hướng của vectơ. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, cần nắm vững các kiến thức cơ bản sau:

I. Kiến Thức Cần Nắm Vững

Vectơ: Định nghĩa, các phép toán vectơ (cộng, trừ, nhân với một số thực).
Tích vô hướng của hai vectơ: Định nghĩa, công thức tính, ứng dụng để tính góc giữa hai vectơ, kiểm tra vuông góc.
Hệ tọa độ: Biểu diễn vectơ trong hệ tọa độ, các phép toán vectơ trong hệ tọa độ.
Các tính chất hình học: Tính chất của các hình đặc biệt (tam giác, hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi).

II. Phương Pháp Giải Bài Toán

Có một số phương pháp thường được sử dụng để giải Câu 8 trang 95 SGK Hình học 11 Nâng cao:

Phương pháp hình học: Sử dụng các tính chất hình học để chứng minh đẳng thức vectơ hoặc xác định điểm thỏa mãn điều kiện.
Phương pháp tọa độ: Chọn hệ tọa độ thích hợp, biểu diễn các vectơ bằng tọa độ, và sử dụng các phép toán vectơ trong hệ tọa độ để giải bài toán.
Phương pháp vectơ: Sử dụng các phép toán vectơ để biến đổi đẳng thức vectơ hoặc chứng minh các mối quan hệ hình học.

III. Lời Giải Chi Tiết (Ví dụ minh họa)

Giả sử đề bài yêu cầu chứng minh rằng với tam giác ABC, nếu AB² + AC² = BC² thì tam giác ABC vuông tại A.

Lời giải:

Sử dụng tích vô hướng của hai vectơ, ta có:

AB² + AC² = |AB|² + |AC|²

BC² = |BC|²

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC, ta có:

BC² = AB² + AC² - 2.AB.AC.cosA

Vì AB² + AC² = BC², nên:

AB² + AC² = AB² + AC² - 2.AB.AC.cosA

Suy ra: 2.AB.AC.cosA = 0

Do AB và AC là độ dài các cạnh của tam giác nên AB > 0 và AC > 0. Vậy cosA = 0, suy ra A = 90^o.

Vậy tam giác ABC vuông tại A.

IV. Bài Tập Tương Tự

Để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài toán, bạn có thể tham khảo các bài tập tương tự sau:

Bài 1: Cho tam giác ABC, tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn MA² + MB² + MC² = k (k là một hằng số).
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD, chứng minh rằng AB² + BC² + CD² + DA² = AC² + BD².
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh rằng AH² = BH.CH.

V. Lưu Ý Khi Giải Bài Toán

Đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu của bài toán.
Vẽ hình minh họa để hình dung rõ hơn về bài toán.
Chọn phương pháp giải phù hợp với từng bài toán cụ thể.
Kiểm tra lại kết quả sau khi giải xong.

Hy vọng với lời giải chi tiết và các bài tập tương tự trên, bạn sẽ hiểu rõ hơn về Câu 8 trang 95 SGK Hình học 11 Nâng cao và có thể tự tin giải quyết các bài toán tương tự.