Bài toán này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, các phép toán vectơ, và các tính chất hình học để giải quyết.
toan9.edu.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a và SA = SB = SC = b. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
Đề bài
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a và SA = SB = SC = b. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
a. Chứng minh rằng SG ⊥ (ABC). Tính SG.
b. Xét mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để (P) cắt SC tại điểm C1 nằm giữa S và C. Khi đó hãy tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABC khi cắt bởi mp(P).
Lời giải chi tiết
a. Gọi I là trung điểm của BC.
Tam giác ABC đều, AI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao: BC ⊥ AI.
Tam giác SBC có SB = SC, SI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao: BC ⊥ SI.
\(\begin{array}{l} \Rightarrow BC \bot (SAI) \supset SG\\ \Rightarrow BC \bot SG.\,\,\, (1)\end{array}\)
Chứng minh tương tự ta có: \(AB \bot SG\,\,\, (1)\)
Từ (1;2) suy ra \(SG \bot (ABC)\)
\(\begin{array}{l}+) \, SI^2 ={S{C^2} - I{C^2}} ={{b^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} \\+) \, GI = \frac{1}{3}AI;\, AI ^2 = {A{B^2} - B{I^2}} =a.\frac{{3 }}{4} \Rightarrow GI= \frac{{a\sqrt 3 }}{6}.\end{array}\)
\(\Rightarrow SG = \sqrt {S{I^2} - G{I^2}} = \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{4} - {{{a^2}} \over {12}}} \) \( = \sqrt {{{12{b^2} - 4{a^2}} \over {12}}}\) \( = \sqrt {{{3{b^2} - {a^2}} \over 3}} \)
b. Kẻ AC1 ⊥ SC thì (P) chính là mp(ABC1)
Vì SAC là tam giác cân mà AC1 ⊥ SC nên C1 nằm giữa S và C khi và chỉ khi
\(\widehat {ASC} < 90^\circ \Leftrightarrow A{S^2} + C{S^2} > A{C^2} \) \(\Leftrightarrow 2{b^2} > {a^2}\)
Ta có : AB ⊥ GC và AB ⊥ SG ⇒ AB ⊥ SC
SC ⊥ AC1 và SC ⊥ AB nên SC ⊥ (ABC1)
Thể tích tứ diện SABC là :
\(\eqalign{ & {V_{SABC}} = {1 \over 3}SG.{S_{ABC}} = {1 \over 3}SC.{S_{AB{C_1}}} \cr & \Rightarrow {S_{AB{C_1}}} = {{SG.{S_{ABC}}} \over {SC}} \cr &= {{\sqrt {{{3{b^2} - {a^2}} \over 3}} .{{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}} \over b} = {{{a^2}\sqrt {3{b^2} - {a^2}} } \over {4b}} \cr} \)
Câu 19 trang 103 SGK Hình học 11 Nâng cao thuộc chương trình học Hình học 11, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về vectơ trong không gian để giải quyết các bài toán liên quan đến hình học. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản về vectơ, các phép toán vectơ (cộng, trừ, nhân với một số thực), và các tính chất của vectơ.
Trước khi bắt đầu giải bài toán, điều quan trọng là phải đọc kỹ đề bài và xác định rõ các yếu tố đã cho và yêu cầu của bài toán. Thông thường, đề bài sẽ cung cấp thông tin về một hình hình học nào đó (ví dụ: hình hộp, hình chóp, hình lăng trụ) và yêu cầu tính toán một đại lượng nào đó (ví dụ: độ dài cạnh, góc giữa hai vectơ, diện tích, thể tích). Việc phân tích đề bài giúp học sinh xác định được phương pháp giải phù hợp và tránh sai sót trong quá trình giải.
Tùy thuộc vào yêu cầu cụ thể của bài toán, có thể sử dụng các phương pháp giải khác nhau. Tuy nhiên, một số phương pháp thường được sử dụng bao gồm:
Giả sử đề bài yêu cầu tính góc giữa hai vectơ a = (1, 2, 3) và b = (4, 5, 6). Ta có thể sử dụng công thức tích vô hướng để tính góc θ giữa hai vectơ:
cos(θ) = (a.b) / (|a||b|)
a.b = (1*4) + (2*5) + (3*6) = 4 + 10 + 18 = 32
|a| = √(1² + 2² + 3²) = √14
|b| = √(4² + 5² + 6²) = √77
cos(θ) = 32 / (√14 * √77) ≈ 0.975
θ ≈ arccos(0.975) ≈ 13.04°
Để nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài toán về vectơ trong không gian, học sinh nên luyện tập thêm các bài tập tương tự. toan9.edu.vn cung cấp một kho bài tập phong phú, đa dạng, giúp các em học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán một cách hiệu quả.
Khi giải bài toán về vectơ, điều quan trọng là phải vẽ hình minh họa để hình dung rõ hơn về bài toán. Ngoài ra, học sinh nên kiểm tra lại kết quả của mình để đảm bảo tính chính xác. Đừng ngần ngại hỏi thầy cô hoặc bạn bè nếu gặp khó khăn trong quá trình giải bài toán.
Hy vọng với lời giải chi tiết và các kiến thức bổ ích trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải Câu 19 trang 103 SGK Hình học 11 Nâng cao và các bài toán tương tự.
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
