Chào mừng bạn đến với bài giải chi tiết Câu 20 trang 103 SGK Hình học 11 Nâng cao trên toan9.edu.vn. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải chính xác, dễ hiểu cùng với phương pháp giải bài tập để giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những tài liệu học tập chất lượng cao, hỗ trợ tối đa cho học sinh trong việc chinh phục môn Toán.
a. Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD, AC ⊥ BD. Chứng minh rằng AD ⊥ BC. Vậy, các cạnh đối diện của tứ diện đó vuông góc với nhau. Tứ diện như thế gọi là tứ diện trực tâm.
Đề bài
a. Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD, AC ⊥ BD. Chứng minh rằng AD ⊥ BC. Vậy, các cạnh đối diện của tứ diện đó vuông góc với nhau. Tứ diện như thế gọi là tứ diện trực tâm.
b. Chứng minh các mệnh đề sau đây là tương đương :
i. ABCD là tứ diện trực tâm.
ii. Chân đường cao của tứ diện hạ từ một đỉnh trùng với trực tâm của mặt đối diện.
iii. \(A{B^2} + C{D^2} = A{C^2} + B{D^2} = A{D^2} + B{C^2}\)
c. Chứng minh rằng bốn đường cao của tứ diện trực tâm đồng quy tại một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tứ diện nói trên.
Lời giải chi tiết
a. Kẻ AH ⊥ (BCD), H ϵ (BCD)
Ta có \(\left\{ {\matrix{ {CD \bot AH} \cr {CD \bot AB} \cr } } \right. \Rightarrow CD \bot \left( {ABH} \right)\)
Mà BH ⊂ (ABH) nên CD ⊥ BH (1)
Tương tự \(\left\{ {\matrix{ {BD \bot AH} \cr {BD \bot AC} \cr } } \right. \Rightarrow BD \bot \left( {ACH} \right) \Rightarrow BD \bot CH\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra H là trực tâm tam giác BCD.
Ta có: \(\left\{ {\matrix{ {BC \bot AH} \cr {BC \bot DH} \cr } } \right. \Rightarrow BC \bot \left( {ADH} \right) \Rightarrow BC \bot AD.\)
b. Theo chứng minh câu a ta có i ⇔ ii
Mặt khác ta có
\(\eqalign{ & A{B^2} + C{D^2} = A{C^2} + B{D^2} \cr & \Leftrightarrow {\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {CD} ^2} = {\overrightarrow {AC} ^2} + {\overrightarrow {BD} ^2} \cr & \Leftrightarrow {\overrightarrow {AB} ^2} + {\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right)^2} = {\overrightarrow {AC} ^2} + {\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right)^2} \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} .\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow AD \bot BC \cr} \)
Tương tự AB ⊥ CD và AC ⊥ BD
Vậy i ⇔ iii
c. Gọi K là trực tâm tam giác ACD thì K nằm trên AI (với BI ⊥ CD). Từ đó suy ra AH và BK cắt nhau do chúng thuộc mp(ABI)
tương tự bốn đường cao của tứ diện trực tâm cắt nhau đôi một và không cùng nằm trên một mặt phẳng nên chúng đồng quy.
Câu 20 trang 103 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng trong chương trình học, thường liên quan đến các kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song, vuông góc, và các định lý liên quan. Việc nắm vững phương pháp giải bài toán này không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài tập tương tự mà còn là nền tảng vững chắc cho việc học các kiến thức nâng cao hơn.
Thông thường, Câu 20 trang 103 SGK Hình học 11 Nâng cao sẽ yêu cầu học sinh chứng minh một mối quan hệ nào đó giữa các đường thẳng và mặt phẳng, hoặc tính toán các yếu tố hình học như góc, khoảng cách. Để giải quyết bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản sau:
Để giải quyết Câu 20 trang 103 SGK Hình học 11 Nâng cao một cách hiệu quả, học sinh có thể áp dụng các phương pháp sau:
Giả sử bài toán yêu cầu chứng minh rằng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P). Để giải bài toán này, chúng ta có thể thực hiện các bước sau:
Ngoài dạng bài tập chứng minh quan hệ vuông góc, Câu 20 trang 103 SGK Hình học 11 Nâng cao còn có thể xuất hiện các dạng bài tập khác như:
Để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài toán, học sinh nên luyện tập thêm các bài tập tương tự trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. Việc giải nhiều bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững phương pháp giải và tự tin hơn trong các kỳ thi.
Câu 20 trang 103 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng, đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kiến thức cơ bản và phương pháp giải bài toán hình học. Hy vọng rằng với bài giải chi tiết và phương pháp giải được trình bày trong bài viết này, các bạn học sinh sẽ tự tin hơn trong việc chinh phục môn Toán.
| Kiến Thức | Ứng Dụng |
|---|---|
| Quan hệ song song | Chứng minh hai đường thẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng |
| Quan hệ vuông góc | Chứng minh hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng |
| Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng | Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng |
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
