Bài 3. Phép đối xứng trục

Bài 3. Phép đối xứng trục - SGK Toán 11 Nâng cao

1. Định nghĩa phép đối xứng trục

Phép đối xứng trục D_d qua đường thẳng d là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’.

Kí hiệu: D_d(M) = M’

Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của phép đối xứng D_d.

2. Tính chất của phép đối xứng trục

• Bảo toàn khoảng cách: M₁M₂ = M’₁M’₂
• Bảo toàn góc: (M₁M₂, M₁M₃) = (M’₁M’₂, M’₁M’₃)
• Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng ban đầu.
• Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

3. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình ax + by + c = 0. Phép đối xứng trục D_d biến điểm M(x₀; y₀) thành điểm M’(x’; y’) có tọa độ được xác định bởi công thức:

x’ = x₀ - 2a(ax₀ + by₀ + c) / (a² + b²)

y’ = y₀ - 2b(ax₀ + by₀ + c) / (a² + b²)

4. Ví dụ minh họa

Cho đường thẳng d: x + y - 1 = 0 và điểm M(2; 3). Tìm tọa độ điểm M’ là ảnh của M qua phép đối xứng trục D_d.

Áp dụng công thức tọa độ, ta có:

x’ = 2 - 2(2 + 3 - 1) / (1² + 1²) = 2 - 2(4) / 2 = 2 - 4 = -2

y’ = 3 - 2(2 + 3 - 1) / (1² + 1²) = 3 - 2(4) / 2 = 3 - 4 = -1

Vậy, M’(-2; -1).

5. Bài tập áp dụng

1. Tìm ảnh của điểm A(1; 2) qua phép đối xứng trục d: x - y + 1 = 0.
2. Tìm phương trình đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d: 2x + y - 3 = 0 qua phép đối xứng trục d: x = 1.
3. Chứng minh rằng phép đối xứng trục là một phép biến hình.

6. Mở rộng và liên hệ thực tế

Phép đối xứng trục có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của đời sống và kỹ thuật, như trong thiết kế họa tiết, kiến trúc, và trong việc giải các bài toán hình học.

Việc nắm vững kiến thức về phép đối xứng trục là nền tảng quan trọng để học tập các kiến thức Hình học nâng cao hơn, đặc biệt là trong chương trình Toán 12.

Hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về phép đối xứng trục. Hãy luyện tập thêm các bài tập để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán.