B. Giới hạn của hàm số. Hàm số liên tục

B. Giới hạn của hàm số. Hàm số liên tục - SGK Toán 11 Nâng cao

I. Giới hạn của hàm số

Khái niệm giới hạn hàm số là một trong những khái niệm quan trọng nhất trong giải tích. Nó cho phép chúng ta mô tả hành vi của hàm số khi biến số tiến tới một giá trị nhất định.

1. Định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm

Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng mở chứa điểm x₀ (trừ có thể tại x₀). Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là L khi x tiến tới x₀, ký hiệu là lim_x→x0 f(x) = L, nếu với mọi số dương ε (epsilon) nhỏ tùy ý, tồn tại một số dương δ (delta) sao cho nếu 0 < |x - x₀| < δ thì |f(x) - L| < ε.

2. Các tính chất của giới hạn

• Tính duy nhất: Nếu lim_x→x0 f(x) = L thì L là duy nhất.
• Tính cộng: lim_x→x0 [f(x) + g(x)] = lim_x→x0 f(x) + lim_x→x0 g(x)
• Tính hiệu: lim_x→x0 [f(x) - g(x)] = lim_x→x0 f(x) - lim_x→x0 g(x)
• Tính tích: lim_x→x0 [f(x) * g(x)] = lim_x→x0 f(x) * lim_x→x0 g(x)
• Tính thương: lim_x→x0 [f(x) / g(x)] = lim_x→x0 f(x) / lim_x→x0 g(x) (với lim_x→x0 g(x) ≠ 0)

3. Các dạng giới hạn thường gặp

• lim_x→0 sin(x)/x = 1
• lim_x→0 (1 - cos(x))/x = 0
• lim_x→∞ (1 + 1/x)^x = e

II. Hàm số liên tục

Hàm số liên tục tại một điểm là hàm số không gián đoạn tại điểm đó. Điều này có nghĩa là giới hạn của hàm số tại điểm đó bằng giá trị của hàm số tại điểm đó.

1. Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm

Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x₀ nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:

1. Hàm số f(x) xác định tại x₀.
2. Hàm số f(x) có giới hạn tại x₀.
3. lim_x→x0 f(x) = f(x₀)

2. Hàm số liên tục trên một khoảng

Hàm số f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a, b) nếu nó liên tục tại mọi điểm trong khoảng đó.

3. Các tính chất của hàm số liên tục

• Tổng, hiệu, tích, thương (với mẫu khác 0) của các hàm số liên tục là một hàm số liên tục.
• Hàm hợp của các hàm số liên tục là một hàm số liên tục.

III. Bài tập ví dụ

Bài 1: Tính lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2)

Giải: lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2) = lim_x→2 (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = lim_x→2 (x + 2) = 4

Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = { x², nếu x ≤ 1; 2x - 1, nếu x > 1 } tại x = 1

Giải: lim_x→1^- f(x) = lim_x→1^- x² = 1; lim_x→1⁺ f(x) = lim_x→1⁺ (2x - 1) = 1; f(1) = 1² = 1. Vì lim_x→1 f(x) = f(1) = 1, nên hàm số f(x) liên tục tại x = 1.

Việc nắm vững kiến thức về giới hạn và hàm số liên tục là vô cùng quan trọng để học tốt các chương trình giải tích cao hơn. Hãy luyện tập thường xuyên và tìm kiếm sự hỗ trợ khi cần thiết để đạt được kết quả tốt nhất.