Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết Câu 5 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao. Bài tập này thuộc chương trình Hình học không gian, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng để giải quyết các bài toán thực tế.
Tại toan9.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải dễ hiểu, chi tiết, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’. Một mặt phẳng (α) cắt các cạnh AA’, BB’, CC, GG’ lần lượt tại A1, B1, C1 và G1. Chứng minh rằng:
Đề bài
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’. Một mặt phẳng (α) cắt các cạnh AA’, BB’, CC, GG’ lần lượt tại A1, B1, C1 và G1. Chứng minh rằng:
a. GG’ song song và bằng cạnh bên của hình lăng trụ
b. G1 là trọng tâm của tam giác A1B1C1
c. \({G_1}G' = {1 \over 3}\left( {{A_1}A' + {B_1}B' + {C_1}C'} \right);\)
\({G_1}G = {1 \over 3}\left( {{A_1}A + {B_1}B + {C_1}C} \right)\)
Lời giải chi tiết
a. Gọi I, I’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, B’C’ thì rõ ràng II' song song và bằng AA’ nên tứ giác AII’A’ là hình bình hành, do đó AI song song và bằng A’I’
Ta cũng có \(AG = {2 \over 3}AI,A'G' = {2 \over 3}A'I'\), mà AI = A’I’ suy ra AG song song và bằng A’G’
Vậy tứ giác AGG’A’ là hình bình hành
Do đó, GG’ song song và bằng AA’
b. B1C1 cắt II’ tại I1 thì I1 là trung điểm của B1C1
Vì G1 thuộc A1I1 và AA1 // GG1 // II1 nên \({{{G_1}{A_1}} \over {{A_1}{I_1}}} = {{GA} \over {AI}} = {2 \over 3}\)
Vậy G1 là trọng tâm tam giác A1B1C1
c. Xét hình bình hành AII’A’. Gọi L, L’ lần lượt là trung điểm của AG và A’G’, L1 là giao điểm của LL’ và A1I1
Khi đó L1 là trung điểm của A1G1
Theo định lí về đường trung bình của hình thang ta có :
\(2{G_1}G' = {L_1}L'+{I_1}I' \)\(= {1 \over 2}\left( {{A_1}A' + {G_1}G'} \right) + {I_1}I'\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2{G_1}G' = \frac{1}{2}{A_1}A' + \frac{1}{2}{G_1}G' + {I_1}I'\\ \Leftrightarrow \frac{3}{2}{G_1}G' = \frac{1}{2}{A_1}A' + {I_1}I'\\ \Leftrightarrow {G_1}G' = \frac{1}{3}{A_1}A' + \frac{2}{3}{I_1}I'\end{array}\)
Suy ra: \({G_1}G' = {1 \over 3}\left( {{A_1}A' + 2{I_1}I'} \right)\)
Mặt khác: 2I1I’ = B1B’ + C1C’
Vậy: \({G_1}G' = {1 \over 3}\left( {{A_1}A' + {B_1}B' + {C_1}C'} \right)\)
Chứng minh tương tự ta có: \({G_1}G = {1 \over 3}\left( {{A_1}A + {B_1}B + {C_1}C} \right)\)
Câu 5 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán điển hình về ứng dụng của định lý về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản sau:
(Đề bài cụ thể của câu 5 trang 78 sẽ được chèn vào đây. Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy. Biết SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).)
Để giải bài toán này, chúng ta thực hiện các bước sau:
Ví dụ minh họa (giả sử đề bài như trên):
Vì SA vuông góc với mặt đáy (ABCD) nên SA vuông góc với AC. Do đó, tam giác SAC vuông tại A. Ta có:
tan(SCA) = SA/AC = a/a = 1
Suy ra, SCA = 45°
Vậy, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là 45°.
Ngoài câu 5 trang 78, còn rất nhiều bài tập tương tự về ứng dụng của định lý về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Các em có thể tham khảo các bài tập sau:
Để giải các bài tập về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng một cách hiệu quả, các em nên:
Hy vọng với lời giải chi tiết và các hướng dẫn trên, các em học sinh đã hiểu rõ cách giải Câu 5 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Hình học!
| Khái niệm | Giải thích |
|---|---|
| Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng | Đường thẳng tạo với mặt phẳng một góc vuông. |
| Hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng | Là đường thẳng nằm trong mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng ban đầu. |
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
