Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
toan9.edu.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập.
Tìm các giới hạn sau :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \root 3 \of {{{2{x^4} + 3x + 1} \over {{x^2} - x + 2}}} \)
Phương pháp giải:
Thay x vào hàm số suy ra giới hạn.
Lời giải chi tiết:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \root 3 \of {{{2{x^4} + 3x + 1} \over {{x^2} - x + 2}}} \) \(= \root 3 \of {{{32 - 6 + 1} \over {4 + 2 + 2}}} = \root 3 \of {{{27} \over 8}} = {3 \over 2}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^2} - x + 5} } \over {2x - 1}}\)
Phương pháp giải:
Đưa thừa số ra ngoài dấu căn và chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của x.
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^2} - x + 5} } \over {2x - 1}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2}\left( {1 - \frac{1}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}} \right)} }}{{2x - 1}}\cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\left| x \right|\sqrt {1 - {1 \over x} + {5 \over {{x^2}}}} } \over {x\left( {2 - {1 \over x}} \right)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x\sqrt {1 - \frac{1}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {2 - \frac{1}{x}} \right)}}\cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - \sqrt {1 - {1 \over x} + {5 \over {{x^2}}}} } \over {2 - {1 \over x}}} = - {1 \over 2} \cr} \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} {{{x^4} + 1} \over {{x^2} + 4x + 3}}\)
Lời giải chi tiết:
Với mọi x < -3, ta có: \({{{x^4} + 1} \over {{x^2} + 4x + 3}} = {{{x^4} + 1} \over {x + 1}}.{1 \over {x + 3}}\)
\(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} {{{x^4} + 1} \over {x + 1}} = {{82} \over { - 2}} = - 41 < 0\cr&\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} {1 \over {x + 3}} = - \infty \cr &\text { vì } \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} \left( {x + 3} \right) = 0,x + 3 < 0,\forall x < - 3 \cr & \text{Vậy }\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} {{{x^4} + 1} \over {{x^2} + 4x + 3}} = + \infty \cr} \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {3 \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\sqrt {{{x + 4} \over {4 - x}}} \)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{& \text{ Vì }\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {3 \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = + \infty \cr&\text{ và}\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {{{x + 4} \over {4 - x}}} = \sqrt {{6 \over 2}} = \sqrt 3 > 0 \cr & \text{ nên }\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {3 \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\sqrt {{{x + 4} \over {4 - x}}} = + \infty \cr} \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} {{\sqrt {8 + 2x} - 2} \over {\sqrt {x + 2} }}\)
Phương pháp giải:
Nhân tử và mẫu của phân thức với \(\sqrt {8 + 2x} + 2\).
Lời giải chi tiết:
Nhân tử và mẫu của phân thức với \(\sqrt {8 + 2x} + 2,\) ta được :
\(\eqalign{& {{\sqrt {8 + 2x} - 2} \over {\sqrt {x + 2} }}\cr & = \frac{{\left( {\sqrt {8 + 2x} - 2} \right)\left( {\sqrt {8 + 2x} + 2} \right)}}{{\sqrt {x + 2} \left( {\sqrt {8 + 2x} + 2} \right)}}\cr &= {{8 + 2x - 4} \over {\sqrt {x + 2} \left( {\sqrt {8 + 2x} + 2} \right)}} \cr & = {{2\left( {x + 2} \right)} \over {\sqrt {x + 2} \left( {\sqrt {8 + 2x} + 2} \right)}} \cr &= {{2\sqrt {x + 2} } \over {\sqrt {8 + 2x} + 2}} \cr & \forall x > - 2 \cr} \)
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} {{\sqrt {8 + 2x} - 2} \over {\sqrt {x + 2} }} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} {{2\sqrt {x + 2} } \over {\sqrt {8 + 2x }+ 2 }} = {0 \over 4} = 0\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x} - \sqrt {4 + {x^2}} } \right)\)
Phương pháp giải:
Nhân chia liên hợp.
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x} - \sqrt {4 + {x^2}} } \right) \cr& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left( {\sqrt {{x^2} + x} - \sqrt {4 + {x^2}} } \right)\left( {\sqrt {{x^2} + x} + \sqrt {4 + {x^2}} } \right)}}{{\sqrt {{x^2} + x} + \sqrt {4 + {x^2}} }}\cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{{x^2} + x - 4 - {x^2}} \over {\sqrt {{x^2} + x} + \sqrt {4 + {x^2}} }} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{x - 4} \over {\left| x \right|\sqrt {1 + {1 \over x}} + \left| x \right|\sqrt {{4 \over {{x^2}}} + 1} }} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{x\left( {1 - {4 \over x}} \right)} \over { - x\left( {\sqrt {1 + {1 \over x}} + \sqrt {{4 \over {{x^2}}} + 1} } \right)}} \cr & = - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{1 - {4 \over x}} \over {\sqrt {1 + {1 \over x}} + \sqrt {1 + {4 \over {{x^2}}}} }} \cr &= - {1 \over 2} \cr} \)
Câu 59 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao yêu cầu chúng ta tìm đạo hàm của hàm số và sử dụng đạo hàm để giải quyết một bài toán liên quan đến tốc độ thay đổi. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các quy tắc tính đạo hàm cơ bản và các ứng dụng của đạo hàm trong thực tế.
Trước khi bắt đầu giải, chúng ta cần đọc kỹ đề bài và xác định rõ các yếu tố quan trọng. Đề bài thường cho một hàm số và yêu cầu chúng ta tính đạo hàm của hàm số đó tại một điểm cụ thể hoặc tìm các điểm cực trị của hàm số. Ngoài ra, đề bài có thể yêu cầu chúng ta sử dụng đạo hàm để giải quyết một bài toán thực tế, chẳng hạn như tìm tốc độ thay đổi của một đại lượng nào đó.
Để giải Câu 59 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
Ví dụ, giả sử đề bài yêu cầu chúng ta tìm đạo hàm của hàm số f(x) = x2 + 2x + 1. Chúng ta sẽ áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm số lũy thừa để tính đạo hàm của từng thành phần của hàm số:
(x2)' = 2x
(2x)' = 2
(1)' = 0
Vậy, đạo hàm của hàm số f(x) = x2 + 2x + 1 là f'(x) = 2x + 2.
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:
Để nắm vững kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm, bạn nên luyện tập thêm các bài tập khác trong SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Ngoài ra, bạn có thể tìm kiếm các bài tập trực tuyến hoặc tham gia các khóa học toán online để nâng cao kỹ năng giải bài tập.
Câu 59 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp chúng ta hiểu rõ hơn về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Bằng cách nắm vững các quy tắc tính đạo hàm cơ bản và luyện tập thường xuyên, chúng ta có thể giải quyết các bài tập tương tự một cách dễ dàng và hiệu quả.
| Công thức | Mô tả |
|---|---|
| (xn)' = nxn-1 | Đạo hàm của hàm số lũy thừa |
| (ex)' = ex | Đạo hàm của hàm số mũ |
| (ln x)' = 1/x | Đạo hàm của hàm số logarit |
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
