Bài 4. Cấp số nhân

Bài 4. Cấp số nhân - SGK Toán 11 Nâng cao ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

Cấp số nhân là một dãy số đặc biệt, trong đó mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách nhân số hạng trước đó với một số không đổi gọi là công bội. Hiểu rõ về cấp số nhân là nền tảng quan trọng để giải quyết nhiều bài toán trong chương trình Toán 11 Nâng cao và các ứng dụng thực tế.

I. Định nghĩa cấp số nhân

Một dãy số (u_n) được gọi là cấp số nhân nếu có một số q ≠ 0 sao cho u_n+1 = q.u_n với mọi n ≥ 1. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Ví dụ: Dãy số 2, 6, 18, 54,... là một cấp số nhân với công bội q = 3.

II. Tính chất của cấp số nhân

1. Nếu u₁ ≠ 0 và q ≠ 0 thì u_n = u₁.q^n-1
2. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân:
• Nếu q = 1: S_n = n.u₁
• Nếu q ≠ 1: S_n = u₁.(1 - qⁿ) / (1 - q)

III. Các dạng bài tập thường gặp

1. Xác định cấp số nhân: Đề bài thường yêu cầu chứng minh một dãy số là cấp số nhân bằng cách kiểm tra điều kiện u_n+1 = q.u_n.

2. Tìm số hạng tổng quát: Sử dụng công thức u_n = u₁.q^n-1 để tìm số hạng thứ n của cấp số nhân.

3. Tính tổng n số hạng đầu tiên: Áp dụng công thức tính tổng S_n để tìm tổng của n số hạng đầu tiên.

4. Ứng dụng cấp số nhân vào giải toán thực tế: Các bài toán liên quan đến lãi kép, sự tăng trưởng dân số, hoặc các hiện tượng tăng/giảm theo cấp số nhân.

IV. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân có u₁ = 3 và q = 2. Tính u₅ và S₅.

Giải:

u₅ = u₁.q⁴ = 3.2⁴ = 48

S₅ = u₁.(1 - q⁵) / (1 - q) = 3.(1 - 2⁵) / (1 - 2) = 3.(-31) / (-1) = 93

V. Bài tập luyện tập

Bài 1: Tìm công bội của cấp số nhân có u₁ = 5 và u₃ = 20.

Bài 2: Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân có u₁ = 1 và q = -2.

Bài 3: Một người gửi tiết kiệm ngân hàng với số tiền ban đầu là 10 triệu đồng, lãi suất 6%/năm. Hỏi sau 5 năm người đó có bao nhiêu tiền (lãi kép)?

VI. Kết luận

Bài 4. Cấp số nhân là một phần quan trọng trong chương trình Toán 11 Nâng cao. Việc nắm vững định nghĩa, tính chất và các ứng dụng của cấp số nhân sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và tự tin. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.