Giải Câu 42 Trang 122 Sgk Đại Số Và Giải Tích 11 Nâng Cao

Câu 42 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 42 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng trong chương trình học.

Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các vấn đề thực tế.

toan9.edu.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập.

Hãy tìm ba số hạng đầu tiên

Đề bài

Hãy tìm ba số hạng đầu tiên của một cấp số nhân, biết rằng tổng của chúng bằng \({{148} \over 9}\) và đồng thời các số hạng đó tương ứng là số hạng đầu, số hạng thứ tư và số hạng thứ tám của một cấp số cộng.

Phương pháp giải - Xem chi tiết Câu 42 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao 1

Sử dụng số hạng tổng quát của CSC: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)

Mở rộng: \({u_m} = {u_k} + \left( {m - k} \right)d\)

Định nghĩa CSN: \({u_n} = q{u_{n - 1}}\)

Lời giải chi tiết

Kí hiệu u₁, u₂, u₃ lần lượt là số hạng thứ nhất, thứ hai và thứ ba của cấp số nhân; gọi q là công bội của cấp số nhân đó.

Gọi d là công sai của cấp số cộng nhận u₁, u₂ và u₃ tương ứng là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám.

Nếu \({u_1} = 0 \Rightarrow {u_2} = {u_3} = 0\) \( \Rightarrow {u_1} + {u_2} + {u_3} = 0 \ne \frac{{148}}{9}\) (mâu thuẫn)

Do đó \({u_1} \ne 0\).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u_2} = {u_1}q = {u_1} + 3d\\{u_3} = {u_2}q = {u_2} + 4d\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}q - {u_1} = 3d\\{u_2}q - {u_2} = 4d\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {q - 1} \right) = 3d\,\,\,(1)\\{u_2}\left( {q - 1} \right) = 4d\,\,\,(2)\end{array} \right.\end{array}\)

Xét hai trường hợp sau :

* Trường hợp 1 : q ≠ 1.

Khi đó (1) và (2) suy ra d ≠ 0 (do u₁≠ 0) và \(q = {{{u_2}} \over {{u_1}}} = {4 \over 3}\)

Từ đó :

\(\eqalign{& {{148} \over 9} = {u_1} + {u_2} + {u_3} = {u_1}.{{1 - {q^3}} \over {1 - q}} \cr & = {u_1}.{{1 - {{\left( {{4 \over 3}} \right)}^3}} \over {1 - {4 \over 3}}} = {u_1}.{{37} \over 9} \Rightarrow {u_1} = 4 \cr & \Rightarrow {u_2} = {u_1}q = {{16} \over 3} \Rightarrow {u_3} = {u_2}q = {{64} \over 9} \cr} \)

Ta có ba số vừa tìm được ở trên là các số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng có công sai \(d = {4 \over 9}.\)

* Trường hợp 2 : q = 1.

Khi đó \({u_1} = {u_2} = {u_3}\).

\( \Rightarrow \frac{{148}}{9} = {u_1} + {u_2} + {u_3} = 3{u_1}\)

\( \Rightarrow {u_1} = \frac{{148}}{{27}}\)

Ba số vừa tìm được ở trên là các số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng với công sai d = 0.

Vậy có hai bộ ba số cần tìm là :

\({u_1} = 4,{u_2} = {{16} \over 3},{u_3} = {{64} \over 9}\) và \({u_1} = {u_2} = {u_3} = {{148} \over {27}}.\)

Tự tin bứt phá Toán lớp 11 – nền tảng vững chắc mở lối vào giảng đường đại học! Khám phá ngay Câu 42 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, nội dung chiến lược thuộc chuyên mục Giải bài tập Toán 11 trên nền tảng đề thi toán. Bộ bài tập toán thpt được biên soạn công phu, bám sát chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng, giúp học sinh hệ thống hóa kiến thức nâng cao, rèn luyện kỹ năng tư duy và giải toán hiệu quả. Với phương pháp tiếp cận trực quan, logic và mang tính ứng dụng thực tế cao, tài liệu này sẽ là người bạn đồng hành lý tưởng trên hành trình ôn luyện chuyên sâu. Đây chính là bước đệm quan trọng giúp các em phát triển toàn diện năng lực học tập và chinh phục mục tiêu học thuật dài hạn.

Giải Chi Tiết Câu 42 Trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 42 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học lớp 11, tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, cực trị, và tính đơn điệu của hàm số.

Phân Tích Đề Bài

Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cần phân tích kỹ đề bài để xác định rõ yêu cầu và các thông tin đã cho. Thông thường, các bài tập dạng này sẽ yêu cầu học sinh:

Xác định tập xác định của hàm số.
Tính đạo hàm bậc nhất và bậc hai của hàm số.
Tìm các điểm cực trị của hàm số.
Khảo sát tính đơn điệu của hàm số.
Vẽ đồ thị hàm số.

Lời Giải Chi Tiết

Để minh họa, giả sử đề bài yêu cầu khảo sát hàm số y = x³ - 3x² + 2.

Bước 1: Xác Định Tập Xác Định

Hàm số y = x³ - 3x² + 2 là một hàm đa thức, do đó tập xác định của hàm số là D = ℝ.

Bước 2: Tính Đạo Hàm

Đạo hàm bậc nhất của hàm số là y' = 3x² - 6x.

Đạo hàm bậc hai của hàm số là y'' = 6x - 6.

Bước 3: Tìm Điểm Cực Trị

Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình y' = 0:

3x² - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0

Vậy, x = 0 hoặc x = 2.

Bước 4: Xác Định Loại Cực Trị

Ta xét dấu của y'' tại các điểm cực trị:

Tại x = 0, y'' = 6(0) - 6 = -6 < 0, do đó hàm số đạt cực đại tại x = 0. Giá trị cực đại là y(0) = 2.
Tại x = 2, y'' = 6(2) - 6 = 6 > 0, do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. Giá trị cực tiểu là y(2) = 2³ - 3(2²) + 2 = 8 - 12 + 2 = -2.

Bước 5: Khảo Sát Tính Đơn Điệu

Ta xét dấu của y':

Khi x < 0, y' > 0, hàm số đồng biến.
Khi 0 < x < 2, y' < 0, hàm số nghịch biến.
Khi x > 2, y' > 0, hàm số đồng biến.

Bước 6: Vẽ Đồ Thị Hàm Số

Dựa vào các thông tin đã phân tích, ta có thể vẽ được đồ thị hàm số y = x³ - 3x² + 2.

Lưu Ý Khi Giải Bài Tập

Khi giải các bài tập về khảo sát hàm số, học sinh cần lưu ý một số điểm sau:

Nắm vững các định nghĩa và tính chất của đạo hàm.
Thực hiện các phép tính đạo hàm một cách chính xác.
Phân tích kỹ đề bài để xác định rõ yêu cầu.
Sử dụng các kiến thức về cực trị và tính đơn điệu để khảo sát hàm số.

Ứng Dụng Của Việc Khảo Sát Hàm Số

Việc khảo sát hàm số có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Giải các bài toán tối ưu hóa.
Phân tích các hiện tượng kinh tế, xã hội.

Hy vọng với lời giải chi tiết này, các bạn học sinh có thể hiểu rõ hơn về cách giải Câu 42 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chúc các bạn học tốt!