Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Bài 4: Hai mặt phẳng song song - SGK Toán 11 Nâng cao

Bài 4 trong SGK Toán 11 Nâng cao tập trung vào việc nghiên cứu điều kiện để hai mặt phẳng song song, các tính chất của hai mặt phẳng song song và ứng dụng của chúng trong giải toán không gian. Đây là một phần kiến thức quan trọng, nền tảng cho việc học các chương tiếp theo về hình học không gian.

I. Điều kiện để hai mặt phẳng song song

Để hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau, cần thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

• Điều kiện 1: (P) và (Q) có hai vectơ pháp tuyến song song với nhau. Tức là, tồn tại một số k khác 0 sao cho \vec{n_P} = k\vec{n_Q}.
• Điều kiện 2: (P) và (Q) có một điểm chung và các đường thẳng đi qua điểm đó, nằm trong (P) và (Q) tương ứng song song với nhau.
• Điều kiện 3: (P) và (Q) có một đường thẳng song song với cả hai mặt phẳng.

II. Tính chất của hai mặt phẳng song song

Khi hai mặt phẳng (P) và (Q) song song, ta có các tính chất sau:

• Nếu một đường thẳng song song với (P) thì nó cũng song song với (Q).
• Nếu một mặt phẳng song song với (P) thì nó cũng song song với (Q).
• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là không đổi.

III. Ứng dụng của việc xét hai mặt phẳng song song trong giải toán

Việc xét hai mặt phẳng song song có nhiều ứng dụng trong giải toán không gian, đặc biệt là trong các bài toán chứng minh quan hệ song song, tính góc giữa hai mặt phẳng, và tính khoảng cách.

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Gọi M là trung điểm của CD. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAD) song song với mặt phẳng (BCM).

Giải:

1. Gọi I là giao điểm của AC và BD.
2. Ta có M là trung điểm của CD, suy ra AM là đường trung tuyến của tam giác ACD.
3. Trong mặt phẳng (ACD), ta có AM // CD.
4. Trong mặt phẳng (BCD), ta có BM // CD.
5. Do đó, AM // BM.
6. Mặt khác, AD // BC.
7. Vậy, (SAD) // (BCM).

Ví dụ 2: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Trên (P) có điểm A và trên (Q) có điểm B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho \overrightarrow{MA} = k\overrightarrow{MB} với k là một số thực.

Giải:

Từ \overrightarrow{MA} = k\overrightarrow{MB}, ta suy ra M nằm trên đường thẳng AB. Do (P) // (Q), nên đường thẳng AB cắt cả hai mặt phẳng tại A và B. Vậy, tập hợp các điểm M là đường thẳng AB.

IV. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức về hai mặt phẳng song song, các em có thể làm các bài tập sau:

• Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng (SMN) song song với (BCD).
• Bài 2: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Trên (P) có tam giác ABC. Hình chiếu vuông góc của tam giác ABC lên (Q) là tam giác A'B'C'. Chứng minh rằng (ABC) // (A'B'C').

Hy vọng bài học này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về hai mặt phẳng song song và áp dụng kiến thức vào giải các bài toán thực tế. Chúc các em học tốt!