Giải Câu 19 Trang 55 Sgk Hình Học 11 Nâng Cao

Câu 19 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao

Câu 19 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng trong chương trình Hình học 11 Nâng cao.

Bài toán này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, các phép toán vectơ, và các tính chất hình học để giải quyết.

toan9.edu.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.

Cho tứ diện ABCD. Bốn điểm P, Q, R, S lần lượt nằm trên bốn cạnh AB, BC, CD, DA và không trùng với các đỉnh của tứ diện. Chứng minh rằng

Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Bốn điểm P, Q, R, S lần lượt nằm trên bốn cạnh AB, BC, CD, DA và không trùng với các đỉnh của tứ diện. Chứng minh rằng

a. Bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng khi và chỉ khi ba đường thẳng PQ, RS, AC hoặc đôi một song song hoặc đồng quy

b. Bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng khi và chỉ khi ba đường thẳng PS, RQ, BD hoặc đôi một song song hoặc đồng quy

Lời giải chi tiết

Câu 19 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao 1

a. Nếu P, Q, R, S đồng phẳng thì chúng cùng thuộc mặt phẳng (PQRS).

Ta có:

(PQRS) ∩ (ABC) = PQ

(PQRS) ∩ (ACD) = RS

(ABC) ∩ (ACD) = AC

Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì PQ, SR, AC hoặc đôi một song song hoặc đồng quy.

Ngược lại, nếu ba đường thẳng PQ, AC, RS hoặc đôi một song song hoặc đồng quy thì hai đường thẳng PQ và RS cùng thuộc một mặt phẳng, từ đó bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng.

b. Nếu P, Q, R, S đồng phẳng thì chúng cùng thuộc mặt phẳng (PQRS).

Ta có:

(PQRS) ∩ (ABD) = PS

(PQRS) ∩ (BCD) = RQ

(ABD) ∩ (BCD) = BD

Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì PS, RQ, BD hoặc đôi một song song hoặc đồng quy.

Ngược lại, nếu ba đường thẳng PS, RQ, BD hoặc đôi một song song hoặc đồng quy thì hai đường thẳng PS và RQ cùng thuộc một mặt phẳng, từ đó bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng.

Tự tin bứt phá Toán lớp 11 – nền tảng vững chắc mở lối vào giảng đường đại học! Khám phá ngay Câu 19 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao, nội dung chiến lược thuộc chuyên mục Sách giáo khoa Toán 11 trên nền tảng soạn toán. Bộ bài tập toán trung học phổ thông được biên soạn công phu, bám sát chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng, giúp học sinh hệ thống hóa kiến thức nâng cao, rèn luyện kỹ năng tư duy và giải toán hiệu quả. Với phương pháp tiếp cận trực quan, logic và mang tính ứng dụng thực tế cao, tài liệu này sẽ là người bạn đồng hành lý tưởng trên hành trình ôn luyện chuyên sâu. Đây chính là bước đệm quan trọng giúp các em phát triển toàn diện năng lực học tập và chinh phục mục tiêu học thuật dài hạn.

Giải chi tiết Câu 19 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao

Câu 19 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao thuộc chương trình học Hình học 11, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về vectơ trong không gian để giải quyết các bài toán liên quan đến hình học. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản về vectơ, bao gồm:

Vectơ: Định nghĩa, các đặc trưng của vectơ (điểm đầu, điểm cuối, độ dài, hướng).
Các phép toán vectơ: Phép cộng, phép trừ, phép nhân với một số thực.
Tích vô hướng của hai vectơ: Định nghĩa, tính chất, ứng dụng.
Hệ tọa độ trong không gian: Biểu diễn vectơ trong hệ tọa độ, các phép toán vectơ trong hệ tọa độ.

Phân tích bài toán Câu 19 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao

Để giải quyết Câu 19 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao, chúng ta cần phân tích kỹ đề bài để xác định rõ các yếu tố sau:

Các điểm và vectơ đã cho: Xác định các điểm và vectơ được đề cập trong bài toán.
Yêu cầu của bài toán: Xác định rõ yêu cầu của bài toán, ví dụ như tính độ dài vectơ, tìm góc giữa hai vectơ, chứng minh một đẳng thức vectơ, hoặc xác định vị trí tương đối của các điểm.
Các mối quan hệ hình học: Xác định các mối quan hệ hình học giữa các điểm và vectơ, ví dụ như các điểm thẳng hàng, các vectơ cùng phương, hoặc các vectơ vuông góc.

Lời giải chi tiết Câu 19 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao

(Giả sử nội dung bài toán là: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).)

Lời giải:

Chọn hệ tọa độ: Chọn A làm gốc tọa độ, AB làm trục Ox, AD làm trục Oy, AS làm trục Oz. Khi đó, ta có các tọa độ sau:
- A(0; 0; 0)
- B(a; 0; 0)
- C(a; a; 0)
- D(0; a; 0)
- S(0; 0; a)
Tìm vectơ SC: SC = (a - 0; a - 0; 0 - a) = (a; a; -a)
Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD): Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên vectơ SA = (0; 0; a) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD).
Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD): Gọi φ là góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD). Ta có:
sin φ = |SC.n| / |SC| |n| = |(a; a; -a).(0; 0; a)| / √((a^2 + a^2 + (-a)^2) * (0^2 + 0^2 + a^2)) = | -a^2 | / √(3a^2 * a^2) = a^2 / (a^2√3) = 1/√3
Suy ra φ = arcsin(1/√3) ≈ 35.26°

Vậy, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là khoảng 35.26°.

Các dạng bài tập tương tự và phương pháp giải

Ngoài Câu 19 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao, còn rất nhiều bài tập tương tự liên quan đến việc vận dụng kiến thức về vectơ trong không gian. Một số dạng bài tập thường gặp bao gồm:

Tính độ dài vectơ: Sử dụng công thức tính độ dài vectơ trong hệ tọa độ.
Tìm góc giữa hai vectơ: Sử dụng công thức tính tích vô hướng của hai vectơ để tìm góc giữa chúng.
Chứng minh các đẳng thức vectơ: Sử dụng các tính chất của phép toán vectơ để chứng minh các đẳng thức.
Xác định vị trí tương đối của các điểm: Sử dụng các khái niệm về vectơ cùng phương, vectơ vuông góc, và tích vô hướng để xác định vị trí tương đối của các điểm.

Để giải quyết các bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần:

Nắm vững các khái niệm cơ bản về vectơ.
Thành thạo các phép toán vectơ.
Biết cách sử dụng hệ tọa độ để biểu diễn vectơ và giải quyết bài toán.
Luyện tập thường xuyên để rèn luyện kỹ năng giải toán.

Kết luận

Câu 19 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về vectơ trong không gian. Việc nắm vững các khái niệm và kỹ năng giải toán liên quan đến vectơ sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả và tự tin hơn.