Bài 1: Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ

Bài 1: Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ - SGK Toán 11 Nâng cao

I. Khái niệm vectơ trong không gian

Trong không gian Oxyz, một vectơ được xác định bởi một cặp điểm A và B, ký hiệu là AB. Vectơ AB có các đặc trưng sau:

• Điểm gốc A: Là điểm bắt đầu của vectơ.
• Điểm cuối B: Là điểm kết thúc của vectơ.
• Hướng: Là hướng từ A đến B.
• Độ dài: Là khoảng cách giữa hai điểm A và B, ký hiệu là |AB|.

Một vectơ cũng có thể được biểu diễn bằng tọa độ trong không gian Oxyz. Nếu A(x_A, y_A, z_A) và B(x_B, y_B, z_B) thì AB = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A).

II. Các phép toán trên vectơ trong không gian

Các phép toán cộng, trừ vectơ và phép nhân vectơ với một số thực được thực hiện tương tự như trong mặt phẳng. Cụ thể:

• Phép cộng vectơ:AB + CD = (x_B - x_A + x_D - x_C, y_B - y_A + y_D - y_C, z_B - z_A + z_D - z_C)
• Phép trừ vectơ:AB - CD = (x_B - x_A - (x_D - x_C), y_B - y_A - (y_D - y_C), z_B - z_A - (z_D - z_C))
• Phép nhân vectơ với một số thực: kAB = (k(x_B - x_A), k(y_B - y_A), k(z_B - z_A))

III. Sự đồng phẳng của các vectơ

Ba vectơ a, b, c được gọi là đồng phẳng nếu có các số thực α, β, γ không đồng thời bằng không sao cho a = αb + βc.

Một điều kiện cần và đủ để ba vectơ a, b, c đồng phẳng là hỗn tử của chúng bằng không, tức là [a, b, c] = 0.

IV. Bài tập minh họa

Bài 1: Cho bốn điểm A(1; 2; 3), B(2; 3; 4), C(3; 4; 5), D(4; 5; 6). Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng.

Giải:

Ta có AB = (1; 1; 1), AC = (2; 2; 2), AD = (3; 3; 3). Vì AC = 2AB và AD = 3AB, nên ba vectơ AB, AC, AD đồng phẳng. Do đó, bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng.

Bài 2: Cho ba vectơ a = (1; 2; 3), b = (2; 3; 4), c = (3; 4; 5). Chứng minh rằng ba vectơ a, b, c đồng phẳng.

Giải:

Ta tính hỗn tử của ba vectơ a, b, c:

[a, b, c] = a.(b x c) = (1; 2; 3).((2*5 - 3*4); (3*3 - 2*5); (2*4 - 3*3)) = (1; 2; 3).(-2; -1; -1) = -2 - 2 - 3 = -7 ≠ 0

Vậy ba vectơ a, b, c không đồng phẳng.