Câu 5 Trang 91 Sgk Hình Học 11 Nâng Cao

Câu 5 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao

Câu 5 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng trong chương trình Hình học 11 Nâng cao.

Bài toán này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, các phép toán vectơ, và các tính chất hình học để giải quyết. toan9.edu.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.

Chúng tôi không chỉ cung cấp đáp án mà còn phân tích cách giải, giúp các em hiểu rõ bản chất của bài toán và áp dụng vào các bài tập tương tự.

Trong không gian cho tam giác ABC.

LG a

Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc mp(ABC) thì có ba số x, y, z mà x + y + z = 1 sao cho \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {xOA} + \overrightarrow {yOB} + \overrightarrow {zOC} \) với mọi điểm O.

Giải chi tiết:

Vì \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) là hai vecto không cùng phương nên điểm M thuộc mp(ABC) khi và chỉ khi có \(\overrightarrow {AM} = l\overrightarrow {AB} + m\overrightarrow {AC} \)

hay \(\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {OA} = l\left( {\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} } \right) + m\left( {\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OA} } \right)\) với mọi điểm O

tức là \(\overrightarrow {OM} = \left( {1 - l - m} \right)\overrightarrow {OA} + l\overrightarrow {OB} + m\overrightarrow {OC} \)

đặt \(1 - l - m = x,l = y,m = z\) thì \(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow {OA} + y\overrightarrow {OB} + z\overrightarrow {OC} \) với \(x + y + z = 1.\)

LG b

Ngược lại, nếu có một điểm O trong không gian saao cho \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {xOA} + \overrightarrow {yOB} + \overrightarrow {zOC} ,\) trong đó x + y + z = 1 thì điểm M thuộc mp(ABC).

Giải chi tiết:

Giả sử \(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow {OA} + y\overrightarrow {OB} + z\overrightarrow {OC} \) với \(x + y + z = 1,\) ta có :

\(\eqalign{ & \overrightarrow {OM} = \left( {1 - y - z} \right)\overrightarrow {OA} + y\overrightarrow {OB} + z\overrightarrow {OC} \cr & hay\,\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {OA} = y\overrightarrow {AB} + z\overrightarrow {AC} \cr & \text{ tức là }\overrightarrow {AM} = y\overrightarrow {AB} + z\overrightarrow {AC} \cr} \)

Mà \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) không cùng phương nên M thuộc mặt phẳng (ABC)

Tự tin bứt phá Toán lớp 11 – nền tảng vững chắc mở lối vào giảng đường đại học! Khám phá ngay Câu 5 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao, nội dung chiến lược thuộc chuyên mục Bài tập Toán lớp 11 trên nền tảng toán học. Bộ bài tập lý thuyết toán thpt được biên soạn công phu, bám sát chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng, giúp học sinh hệ thống hóa kiến thức nâng cao, rèn luyện kỹ năng tư duy và giải toán hiệu quả. Với phương pháp tiếp cận trực quan, logic và mang tính ứng dụng thực tế cao, tài liệu này sẽ là người bạn đồng hành lý tưởng trên hành trình ôn luyện chuyên sâu. Đây chính là bước đệm quan trọng giúp các em phát triển toàn diện năng lực học tập và chinh phục mục tiêu học thuật dài hạn.

Câu 5 Trang 91 SGK Hình Học 11 Nâng Cao: Phân Tích Chi Tiết và Hướng Dẫn Giải

Câu 5 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao thường xoay quanh việc áp dụng các kiến thức về vectơ trong không gian, đặc biệt là các phép toán vectơ như cộng, trừ, nhân với một số thực, và tích vô hướng. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững định nghĩa, tính chất của vectơ, cũng như các công thức liên quan đến tích vô hướng.

I. Tóm Tắt Lý Thuyết Quan Trọng

Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cùng ôn lại một số kiến thức lý thuyết cần thiết:

Vectơ: Một đoạn thẳng có hướng. Vectơ được xác định bởi điểm gốc và điểm cuối.
Phép cộng vectơ: Quy tắc hình bình hành hoặc quy tắc tam giác.
Phép nhân vectơ với một số thực: Thay đổi độ dài của vectơ, giữ nguyên hướng nếu số thực dương, đổi hướng nếu số thực âm.
Tích vô hướng của hai vectơ: a.b = |a||b|cos(θ), trong đó θ là góc giữa hai vectơ.
Ứng dụng của tích vô hướng: Tính góc giữa hai vectơ, kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ.

II. Phân Tích Đề Bài Câu 5 Trang 91

Để giải quyết Câu 5 trang 91, bước đầu tiên là đọc kỹ đề bài, xác định rõ các yếu tố đã cho và yêu cầu của bài toán. Thông thường, đề bài sẽ cung cấp thông tin về các điểm trong không gian, các vectơ liên quan, và yêu cầu tính toán một đại lượng nào đó, ví dụ như độ dài vectơ, góc giữa hai vectơ, hoặc chứng minh một đẳng thức vectơ.

III. Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Dưới đây là một ví dụ về cách giải một dạng bài tập thường gặp trong Câu 5 trang 91:

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

Bước 1: Chọn hệ tọa độ thích hợp. Đặt A là gốc tọa độ, AB là trục Ox, AD là trục Oy, và AS là trục Oz.
Bước 2: Xác định tọa độ của các điểm. A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), D(0,a,0), S(0,0,a).
Bước 3: Tìm vectơ SC. SC = (a,a,-a).
Bước 4: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD) là k = (0,0,1).
Bước 5: Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD). Góc α giữa SC và (ABCD) được tính bởi công thức sin(α) = |SC.k| / |SC||k|.
Bước 6: Thay số và tính toán. sin(α) = |(a,a,-a).(0,0,1)| / √((a^2 + a^2 + a^2)) * √(0^2 + 0^2 + 1^2) = | -a | / (a√3) * 1 = 1/√3. Suy ra α = arcsin(1/√3).

IV. Các Dạng Bài Tập Thường Gặp và Phương Pháp Giải

Ngoài ví dụ trên, Câu 5 trang 91 còn có thể xuất hiện các dạng bài tập khác, như:

Tính độ dài vectơ.
Chứng minh hai vectơ vuông góc.
Tìm điều kiện để ba điểm thẳng hàng.
Xác định mối quan hệ giữa các vectơ.

Để giải quyết các dạng bài tập này, học sinh cần:

Nắm vững các công thức liên quan đến vectơ.
Sử dụng các phương pháp tọa độ để biểu diễn các vectơ và thực hiện các phép toán.
Vận dụng các tính chất hình học để đơn giản hóa bài toán.

V. Bài Tập Tương Tự

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập tương tự sau:

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, BC = b, AA' = c. Tính độ dài đường chéo AC'.
Cho hai vectơ a = (1,2,3) và b = (-2,1,0). Tính tích vô hướng của a và b.
Chứng minh rằng nếu a vuông góc với b thì a.b = 0.

VI. Kết Luận

Câu 5 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức về vectơ trong không gian. Bằng cách nắm vững lý thuyết, phân tích đề bài một cách cẩn thận, và áp dụng các phương pháp giải phù hợp, các em có thể tự tin giải quyết bài toán này và các bài tập tương tự.