Giải Câu 4 Trang 100 Sgk Đại Số Và Giải Tích 11 Nâng Cao

Câu 4 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 4 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng trong chương trình học.

Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các vấn đề thực tế.

toan9.edu.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập.

Chứng minh rằng

Đề bài

Chứng minh rằng với mọi số nguyên \(n ≥ 2\), ta luôn có đẳng thức sau :

\(\left( {1 - {1 \over 4}} \right)\left( {1 - {1 \over 9}} \right)...\left( {1 - {1 \over {{n^2}}}} \right) = {{n + 1} \over {2n}}\)

Lời giải chi tiết

+) Với \(n = 2\) ta có \(1 - {1 \over 4} = {3 \over 4}\) (đúng). Vậy (1) đúng với \(n = 2\)

+) Giả sử (1) đúng với \(n = k\), tức là ta có

\(\left( {1 - {1 \over 4}} \right)\left( {1 - {1 \over 9}} \right)...\left( {1 - {1 \over {{k^2}}}} \right) = {{k + 1} \over {2k}}\)

+) Ta chứng minh (1) đúng với \(n = k + 1\), tức là phải chứng minh :

\(\left( {1 - {1 \over 4}} \right)\left( {1 - {1 \over 9}} \right)...\left( {1 - {1 \over {{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} \right) = {{k + 2} \over {2\left( {k + 1} \right)}}\)

Thật vậy theo giả thiết qui nạp ta có :

\(\eqalign{& \left( {1 - {1 \over 4}} \right)\left( {1 - {1 \over 9}} \right)...\left( {1 - {1 \over {{k^2}}}} \right)\left( {1 - {1 \over {{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} \right) \cr & = {{k + 1} \over {2k}}\left( {1 - {1 \over {{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} \right) \cr & = {{k + 1} \over {2k}}.{{{k^2} + 2k} \over {{{\left( {k + 1} \right)}^2}}} ={{k + 1} \over {2k}}.{{k.\left( {k + 2} \right)} \over {{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}= {{k + 2} \over {2\left( {k + 1} \right)}} \cr} \)

Vậy (1) đúng với \(n = k + 1\) do đó (1) đúng với mọi \(n ≥ 2\)

Tự tin bứt phá Toán lớp 11 – nền tảng vững chắc mở lối vào giảng đường đại học! Khám phá ngay Câu 4 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, nội dung chiến lược thuộc chuyên mục toán lớp 11 trên nền tảng toán. Bộ bài tập toán trung học phổ thông được biên soạn công phu, bám sát chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng, giúp học sinh hệ thống hóa kiến thức nâng cao, rèn luyện kỹ năng tư duy và giải toán hiệu quả. Với phương pháp tiếp cận trực quan, logic và mang tính ứng dụng thực tế cao, tài liệu này sẽ là người bạn đồng hành lý tưởng trên hành trình ôn luyện chuyên sâu. Đây chính là bước đệm quan trọng giúp các em phát triển toàn diện năng lực học tập và chinh phục mục tiêu học thuật dài hạn.

Giải chi tiết Câu 4 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 4 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thường xoay quanh việc xét tính đơn điệu của hàm số. Để giải quyết bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm và các dấu hiệu xét tính đơn điệu.

I. Tóm tắt lý thuyết cần thiết

Trước khi đi vào giải bài tập cụ thể, chúng ta cùng ôn lại một số kiến thức lý thuyết quan trọng:

Đạo hàm: Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x, ký hiệu là f'(x), biểu thị tốc độ thay đổi tức thời của hàm số tại điểm đó.
Tính đơn điệu của hàm số:
- Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a, b) nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc (a, b).
- Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a, b) nếu f'(x) < 0 với mọi x thuộc (a, b).

II. Phân tích đề bài và hướng giải

Thông thường, đề bài Câu 4 trang 100 sẽ cho một hàm số cụ thể và yêu cầu xét tính đơn điệu của hàm số đó trên một khoảng nào đó. Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm f'(x) của hàm số f(x).
Tìm các điểm mà f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định. Đây là các điểm tới hạn của hàm số.
Xác định dấu của f'(x) trên các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn.
Kết luận về tính đơn điệu của hàm số trên các khoảng đó.

III. Ví dụ minh họa

Giả sử đề bài yêu cầu xét tính đơn điệu của hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 trên khoảng (-∞, +∞). Ta thực hiện như sau:

Tính đạo hàm: f'(x) = 3x² - 6x
Tìm điểm tới hạn: f'(x) = 0 ⇔ 3x² - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2
Xác định dấu của f'(x):
- Trên khoảng (-∞, 0), f'(x) > 0 nên f(x) đồng biến.
- Trên khoảng (0, 2), f'(x) < 0 nên f(x) nghịch biến.
- Trên khoảng (2, +∞), f'(x) > 0 nên f(x) đồng biến.
Kết luận: Hàm số f(x) đồng biến trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞), nghịch biến trên khoảng (0, 2).

IV. Lưu ý khi giải bài tập

Luôn kiểm tra kỹ điều kiện xác định của hàm số trước khi tính đạo hàm.
Chú ý đến các điểm không xác định của đạo hàm, vì chúng có thể là điểm tới hạn.
Sử dụng bảng xét dấu để xác định dấu của đạo hàm một cách chính xác.
Kết luận về tính đơn điệu của hàm số phải dựa trên dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định.

V. Bài tập tương tự

Để củng cố kiến thức, bạn có thể tự giải các bài tập tương tự trong SGK và sách bài tập. Ngoài ra, hãy tham khảo thêm các tài liệu học tập trực tuyến và các video hướng dẫn giải bài tập trên toan9.edu.vn.