Bài 6. Phép vị tự

Phép vị tự là một phép biến hình quan trọng trong hình học, đóng vai trò then chốt trong việc nghiên cứu các hình đồng dạng. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về định nghĩa, tính chất, và ứng dụng của phép vị tự, dựa trên nội dung của SGK Toán 11 Nâng cao.

1. Định nghĩa phép vị tự

Phép vị tự là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho M’ nằm trên tia OM và OM’ = k.OM, với k là một số thực dương gọi là tỉ số vị tự. O được gọi là tâm vị tự.

2. Tính chất của phép vị tự

• Phép vị tự bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
• Phép vị tự biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng ban đầu.
• Phép vị tự biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng tâm và bán kính bằng k lần bán kính đường tròn ban đầu.

3. Biểu thức tọa độ của phép vị tự

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu phép vị tự tâm O(0,0) tỉ số k biến điểm M(x, y) thành điểm M’(x’, y’) thì:

x’ = kx

y’ = ky

Nếu tâm vị tự là điểm I(a, b) thì:

x’ = a + k(x - a)

y’ = b + k(y - b)

4. Ứng dụng của phép vị tự

Phép vị tự có nhiều ứng dụng trong hình học, đặc biệt là trong việc chứng minh sự đồng dạng của các hình. Một số ứng dụng cụ thể bao gồm:

• Chứng minh hai tam giác đồng dạng.
• Xây dựng các hình đồng dạng.
• Giải các bài toán liên quan đến tỉ lệ và đồng dạng.

5. Bài tập ví dụ minh họa

Bài tập 1: Cho tam giác ABC có A(1, 2), B(3, 4), C(5, 1). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác A’B’C’ là ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự tâm O(0, 0) tỉ số k = 2.

Giải:

A’(2, 4)

B’(6, 8)

C’(10, 2)

Bài tập 2: Cho đường thẳng d: x + y - 2 = 0. Tìm phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép vị tự tâm I(1, 1) tỉ số k = -1.

Giải:

Chọn hai điểm A(0, 2) và B(2, 0) thuộc d. Tìm ảnh A’ và B’ của A và B qua phép vị tự.

A’(1 - (0 - 1), 1 - (2 - 1)) = (2, 0)

B’(1 - (2 - 1), 1 - (0 - 1)) = (0, 2)

Phương trình đường thẳng d’ đi qua A’ và B’ là: x + y - 2 = 0.

6. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về phép vị tự, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Hãy tìm các bài tập trong SGK Toán 11 Nâng cao và các tài liệu tham khảo khác để luyện tập. toan9.edu.vn cung cấp nhiều bài tập và bài kiểm tra trực tuyến để giúp bạn củng cố kiến thức.

7. Kết luận

Bài 6. Phép vị tự là một bài học quan trọng trong chương trình Hình học lớp 11 Nâng cao. Việc hiểu rõ định nghĩa, tính chất, và ứng dụng của phép vị tự sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả. Chúc bạn học tập tốt!