Giải Câu 24 Trang 111 Sgk Hình Học 11 Nâng Cao

Câu 24 trang 111 SGK Hình học 11 Nâng cao

Câu 24 trang 111 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng trong chương trình Hình học 11 Nâng cao.

Bài toán này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, đặc biệt là các tính chất về quan hệ song song, vuông góc. Việc giải bài toán này đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về lý thuyết và khả năng áp dụng linh hoạt vào thực tế.

toan9.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu cùng với các phương pháp giải bài toán này, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và SA ⊥ (ABCD), SA = x. Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 60˚.

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và SA ⊥ (ABCD), SA = x. Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 60˚.

Lời giải chi tiết

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Trong mặt phẳng (SAC) kẻ OO₁ vuông góc với SC.

Câu 24 trang 111 SGK Hình học 11 Nâng cao 2

Vậy góc giữa hai mp(SBC) và (SDC) bằng góc giữa hai đường thẳng BO₁ và DO₁.

Mặt khác OO₁ ⊥ BD, OO₁ < OC (vì OC là cạnh huyền của \(\Delta O{O_1}C\) vuông tại O1) mà OC = OB nên \(\widehat {B{O_1}O} > 45^\circ .\)

Tương tự \(\widehat {D{O_1}O} > 45^\circ \) tức \(\widehat {B{O_1}D} >90^\circ \)

Như vậy hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc \(60^\circ \) khi và chỉ khi:

\(\widehat {B{O_1}D} =120^\circ \) \( \Leftrightarrow\) \(\widehat {B{O_1}O} = 60^\circ \) (vì ΔBO₁D cân tại O₁)

\( \Leftrightarrow BO = O{O_1}\tan 60^\circ \) \(\Leftrightarrow BO = O{O_1}\sqrt 3 \)

Ta có \(O{O_1} \bot SC\) nên \(\widehat {O{O_1}C} = {90^0}\)

Xét tam giác \(CO{O_1}\) vuông tại \({O_1}\) có:

\(O{O_1} = OC\sin \widehat {OC{O_1}} = OC\sin \widehat {ACS}\) \( = OC.{{SA} \over {SC}}\)

Như vậy : \(BO = O{O_1}\sqrt 3 \Leftrightarrow BO = \sqrt 3 .OC.{{SA} \over {SC}} \) \(\Leftrightarrow SC = \sqrt 3 .SA\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2{a^2}} = \sqrt 3 .x \Leftrightarrow x = a\)

Vậy khi x = a thì hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 60˚

Tự tin bứt phá Toán lớp 11 – nền tảng vững chắc mở lối vào giảng đường đại học! Khám phá ngay Câu 24 trang 111 SGK Hình học 11 Nâng cao, nội dung chiến lược thuộc chuyên mục Giải bài tập Toán 11 trên nền tảng tài liệu toán. Bộ bài tập toán thpt được biên soạn công phu, bám sát chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng, giúp học sinh hệ thống hóa kiến thức nâng cao, rèn luyện kỹ năng tư duy và giải toán hiệu quả. Với phương pháp tiếp cận trực quan, logic và mang tính ứng dụng thực tế cao, tài liệu này sẽ là người bạn đồng hành lý tưởng trên hành trình ôn luyện chuyên sâu. Đây chính là bước đệm quan trọng giúp các em phát triển toàn diện năng lực học tập và chinh phục mục tiêu học thuật dài hạn.

Câu 24 Trang 111 SGK Hình Học 11 Nâng Cao: Phân Tích Chi Tiết và Phương Pháp Giải

Bài toán Câu 24 trang 111 SGK Hình học 11 Nâng cao thường xoay quanh việc chứng minh các mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng, hoặc xác định các yếu tố hình học trong không gian. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản sau:

I. Kiến Thức Cơ Bản Cần Nắm Vững

Đường thẳng song song với mặt phẳng: Một đường thẳng song song với một mặt phẳng khi và chỉ khi nó song song với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khi và chỉ khi nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
Các định lý về quan hệ song song và vuông góc: Nắm vững các định lý liên quan đến quan hệ song song và vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

II. Phân Tích Bài Toán Câu 24 Trang 111 SGK Hình Học 11 Nâng Cao

Để phân tích bài toán một cách hiệu quả, chúng ta cần:

Đọc kỹ đề bài: Xác định rõ các yếu tố đã cho và yêu cầu của bài toán.
Vẽ hình: Vẽ hình minh họa bài toán, giúp hình dung rõ hơn về các yếu tố và mối quan hệ giữa chúng.
Xác định phương pháp giải: Lựa chọn phương pháp giải phù hợp với bài toán, ví dụ như phương pháp chứng minh quan hệ song song, vuông góc, hoặc phương pháp tính góc.

III. Lời Giải Chi Tiết Câu 24 Trang 111 SGK Hình Học 11 Nâng Cao (Ví dụ minh họa - cần thay thế bằng nội dung cụ thể của bài toán)

Đề bài (Ví dụ): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Gọi M là trung điểm của CD. Chứng minh rằng SM vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

Lời giải:

Chứng minh SM vuông góc với CD: Vì M là trung điểm của CD và ABCD là hình vuông nên CD vuông góc với DM. Do đó, SM vuông góc với CD.
Chứng minh SM vuông góc với AD: Vì ABCD là hình vuông nên AD vuông góc với CD. Kết hợp với SM vuông góc với CD, suy ra SM vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

IV. Các Dạng Bài Tập Tương Tự và Phương Pháp Giải

Ngoài bài toán Câu 24 trang 111 SGK Hình học 11 Nâng cao, còn rất nhiều bài tập tương tự liên quan đến quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng. Để giải quyết các bài tập này, chúng ta có thể áp dụng các phương pháp sau:

Phương pháp sử dụng định lý: Áp dụng các định lý về quan hệ song song và vuông góc để chứng minh các mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Phương pháp sử dụng hình chiếu: Sử dụng hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng để tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Phương pháp tọa độ: Sử dụng hệ tọa độ để giải quyết các bài toán phức tạp.

V. Luyện Tập Thêm

Để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập, các em học sinh nên tự giải thêm các bài tập tương tự trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài toán khó hơn.

VI. Kết Luận

Câu 24 trang 111 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng, giúp học sinh hiểu sâu hơn về các kiến thức cơ bản về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Bằng cách nắm vững kiến thức lý thuyết, phân tích bài toán một cách kỹ lưỡng và áp dụng các phương pháp giải phù hợp, các em học sinh có thể tự tin giải quyết bài toán này và các bài tập tương tự.