Chào mừng bạn đến với bài giải chi tiết Câu 25 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao trên toan9.edu.vn. Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp giải bài tập một cách dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những giải pháp học tập hiệu quả nhất, đồng thời giúp bạn tiết kiệm thời gian và công sức.
Cho hai mặt phẳng vuông góc (P) và (Q) có giao tuyến Δ. Lấy A, B cùng thuộc Δ và lấy C ϵ (P), D ϵ (Q) sao cho AC ⊥ AB, BD ⊥ AB và AB = AC = BD. Xác định thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (α) đi qua điểm A và vuông góc với CD. Tính diện tích thiết diện khi AC = AB = BD = a.
Đề bài
Cho hai mặt phẳng vuông góc \((P)\) và \((Q)\) có giao tuyến \(Δ\). Lấy \(A, B\) cùng thuộc \(Δ\) và lấy \(C ϵ (P), D ϵ (Q)\) sao cho \(AC ⊥ AB, BD ⊥ AB\) và \(AB = AC = BD\). Xác định thiết diện của tứ diện \(ABCD\) khi cắt bởi mặt phẳng \((α)\) đi qua điểm \(A\) và vuông góc với \(CD\). Tính diện tích thiết diện khi \(AC = AB = BD = a.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Xác định mp \((α)\) và tìm thiết diện
+ Tình diện tích thiết diện.
Lời giải chi tiết
+) Xác định mặt phẳng \((α)\) và thiết diện.
Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\).
Ta có: \(AI ⊥ BC\) vì \(AC=AB\). (1)
Do \(BD ⊥ AB\) - là giao tuyến chung nên \(BD ⊥ mp(ABC) \Rightarrow BD ⊥ AI.\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AI ⊥ (DBC) \subset DC .\)
Trong \(mp(DCB)\), từ \(I\), kẻ \(IJ ⊥ CD (J ϵ CD)\)
\(\Rightarrow DC ⊥ AI \) và \(DC ⊥ IJ\)
\(\Rightarrow DC ⊥ (AIJ) \)
Vậy \(mp(AIJ)\) chính là mặt phẳng \((α)\) và thiết diện phải tìm là tam giác \(AIJ\).
+) Tính diện tích tam giác \(AIJ\)
Ta có: tam giác \(AIJ\) vuông tại \(I\) vì \( AI ⊥ (DBC) \subset IJ .\)
Vậy \({S_{AIJ}} = \frac{1}{2}.AI.IJ\)
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt 2 a\)
Và \( AI = CI = BI = \frac{{BC}}{2} = \frac{{\sqrt 2 a}}{2}\)
Lại có: \(\Delta CIJ\) đồng dạng với \(\Delta CDB\) (chung góc \(C\) và \(\hat J = \hat B = 90^0\))
\( \Rightarrow \frac{{IJ}}{{DB}} = \frac{{CI}}{{CD}} \Rightarrow IJ = DB.\frac{{CI}}{{CD}}\)
Mà \(DB = a,\;\;CI = \frac{{\sqrt 2 a}}{2};\;\;CD = \sqrt {B{C^2} + B{D^2}} = \sqrt 3 a\)
\( \Rightarrow IJ = a.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}:\sqrt 3 a = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\)
\( \Rightarrow {S_{AIJ}} = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{{a\sqrt 6 }}{6} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{12}}\)
Câu 25 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng trong chương trình học, thường liên quan đến việc vận dụng các kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, đặc biệt là các tính chất về quan hệ song song, vuông góc. Để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các định nghĩa, định lý và tính chất cơ bản.
(Nội dung đề bài sẽ được chèn vào đây. Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).)
Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định:
Bước 1: Xác định hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng (ABCD). Vì SA vuông góc với (ABCD) nên A là hình chiếu của S lên (ABCD).
Bước 2: Tính độ dài AC. Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên AC = a√2.
Bước 3: Tính độ dài SC. Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông SAC, ta có SC = √(SA² + AC²) = √(a² + (a√2)²) = a√3.
Bước 4: Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD). Góc giữa SC và (ABCD) bằng góc giữa SC và hình chiếu của SC lên (ABCD), tức là góc SCA.
Bước 5: Tính tan góc SCA. Ta có tan SCA = SA/AC = a/(a√2) = 1/√2.
Bước 6: Suy ra góc SCA = arctan(1/√2) ≈ 35.26°.
Ngoài câu 25 trang 112, còn rất nhiều bài tập tương tự liên quan đến việc tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Dưới đây là một số dạng bài tập phổ biến:
Để hiểu sâu hơn về chủ đề này, bạn có thể tìm hiểu thêm về:
Để củng cố kiến thức, bạn hãy thử giải các bài tập sau:
Hy vọng bài giải chi tiết Câu 25 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về phương pháp giải bài tập và nắm vững kiến thức. Chúc bạn học tập tốt!
| Khái niệm | Định nghĩa |
|---|---|
| Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng | Là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng. |
| Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng | Là đường thẳng tạo với mặt phẳng một góc 90 độ. |
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
