A. Giới hạn của dãy số

A. Giới hạn của dãy số - SGK Toán 11 Nâng cao ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

1. Khái niệm giới hạn của dãy số

Một dãy số (u_n) được gọi là có giới hạn hữu hạn L nếu với mọi ε > 0, tồn tại số tự nhiên N sao cho với mọi n > N, ta có |u_n - L| < ε. Ký hiệu: lim_n→∞ u_n = L.

Dãy số (u_n) được gọi là có giới hạn vô cực (dương hoặc âm) nếu với mọi M > 0, tồn tại số tự nhiên N sao cho với mọi n > N, ta có u_n > M (giới hạn vô cực dương) hoặc u_n < M (giới hạn vô cực âm).

2. Các tính chất của giới hạn dãy số

• Tính duy nhất: Nếu dãy số (u_n) có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
• Tính chất cộng: lim_n→∞ (u_n + v_n) = lim_n→∞ u_n + lim_n→∞ v_n (nếu cả hai dãy đều có giới hạn).
• Tính chất trừ: lim_n→∞ (u_n - v_n) = lim_n→∞ u_n - lim_n→∞ v_n (nếu cả hai dãy đều có giới hạn).
• Tính chất nhân: lim_n→∞ (u_n * v_n) = lim_n→∞ u_n * lim_n→∞ v_n (nếu cả hai dãy đều có giới hạn).
• Tính chất chia: lim_n→∞ (u_n / v_n) = (lim_n→∞ u_n) / (lim_n→∞ v_n) (nếu cả hai dãy đều có giới hạn và lim_n→∞ v_n ≠ 0).

3. Các dạng giới hạn thường gặp

a. Giới hạn của dãy số hằng

Nếu u_n = C với mọi n, thì lim_n→∞ u_n = C.

b. Giới hạn của dãy số đơn điệu bị chặn

Nếu dãy số (u_n) đơn điệu tăng và bị chặn trên, thì dãy số có giới hạn hữu hạn. Nếu dãy số (u_n) đơn điệu giảm và bị chặn dưới, thì dãy số có giới hạn hữu hạn.

c. Giới hạn của dãy số có dạng phân thức

Để tính giới hạn của dãy số có dạng phân thức, ta thường chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của n ở mẫu số.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính lim_n→∞ (2n + 1) / (n + 3).

Giải: lim_n→∞ (2n + 1) / (n + 3) = lim_n→∞ (2 + 1/n) / (1 + 3/n) = 2/1 = 2.

Ví dụ 2: Tính lim_n→∞ (1 + 1/n)ⁿ.

Giải: Đây là giới hạn quen thuộc, lim_n→∞ (1 + 1/n)ⁿ = e (số Euler).

5. Bài tập áp dụng

1. Tính lim_n→∞ (3n² + 2n - 1) / (n² + 5).
2. Tính lim_n→∞ (1 - 2/n)ⁿ.
3. Chứng minh dãy số u_n = (n + 1) / n có giới hạn.

6. Kết luận

A. Giới hạn của dãy số là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong giải tích. Việc nắm vững các định nghĩa, tính chất và các dạng giới hạn thường gặp sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán.