Giải Câu 15 Trang 109 Sgk Đại Số Và Giải Tích 11 Nâng Cao

Câu 15 trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 15 trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng trong chương trình học.

Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các vấn đề thực tế.

toan9.edu.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập.

Cho dãy số (un) xác định bởi

LG a

Hãy tính u₂, u₄ và u₆.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{& {u_2} = {u_1} + 5 = 8 \cr & {u_3} = {u_2} + 5 = 13 \cr & {u_4} = {u_3} + 5 = 18 \cr & {u_5} = {u_4} + 5 = 23 \cr & {u_6} = {u_5} + 5 = 28 \cr} \)

LG b

Chứng minh rằng \(u_n= 5n – 2\) với mọi \(n ≥ 1\).

Lời giải chi tiết:

Ta sẽ chứng minh : \(u_n= 5n – 2\) (1) với mọi \(n \in \mathbb N^*\), bằng phương pháp qui nạp.

+) Với \(n = 1\), ta có \(u_1= 3 = 5.1 – 2\)

Vậy (1) đúng khi \(n = 1\).

+) Giả sử (1) đúng với \(n = k, k\in \mathbb N^*\), tức là:

\(u_k=5k-2\)

+) Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi \(n = k + 1\)

Thật vậy, từ công thức xác định dãy số (u_n) và giả thiết qui nạp ta có :

\({u_{k + 1}} = {u_k} + 5 \)

\(= 5k - 2 + 5 = 5\left( {k + 1} \right) - 2\)

Do đó (1) đúng với mọi \(n \in \mathbb N^*\).

Cách khác:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_n} = {u_{n - 1}} + 5\\{u_{n - 1}} = {u_{n - 2}} + 5\\...\\{u_3} = {u_2} + 5\\{u_2} = {u_1} + 5\\ \Rightarrow {u_n} + {u_{n - 1}} + ... + {u_3} + {u_2}\\ = \left( {{u_{n - 1}} + 5} \right) + \left( {{u_{n - 2}} + 5} \right) + ...\\ + \left( {{u_2} + 5} \right) + \left( {{u_1} + 5} \right)\\ \Rightarrow {u_n} + {u_{n - 1}} + ... + {u_3} + {u_2}\\ = {u_{n - 1}} + {u_{n - 2}} + ... + {u_2} + {u_1}\\ + \left( {5 + 5 + ... + 5 + 5} \right)(\text{ n-1 số 5})\\ \Rightarrow {u_n} = {u_1} + 5.\left( {n - 1} \right)\\ \Rightarrow {u_n} = 3 + 5n - 5 = 5n - 2\end{array}\)

Tự tin bứt phá Toán lớp 11 – nền tảng vững chắc mở lối vào giảng đường đại học! Khám phá ngay Câu 15 trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, nội dung chiến lược thuộc chuyên mục Giải bài tập Toán 11 trên nền tảng môn toán. Bộ bài tập toán thpt được biên soạn công phu, bám sát chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng, giúp học sinh hệ thống hóa kiến thức nâng cao, rèn luyện kỹ năng tư duy và giải toán hiệu quả. Với phương pháp tiếp cận trực quan, logic và mang tính ứng dụng thực tế cao, tài liệu này sẽ là người bạn đồng hành lý tưởng trên hành trình ôn luyện chuyên sâu. Đây chính là bước đệm quan trọng giúp các em phát triển toàn diện năng lực học tập và chinh phục mục tiêu học thuật dài hạn.

Giải Chi Tiết Câu 15 Trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 15 trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học lớp 11, tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, cực trị, và tính đơn điệu của hàm số.

Phân Tích Đề Bài

Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cần phân tích kỹ đề bài để xác định rõ yêu cầu và các thông tin đã cho. Thông thường, các bài tập dạng này sẽ yêu cầu học sinh:

Xác định tập xác định của hàm số.
Tính đạo hàm bậc nhất và bậc hai của hàm số.
Tìm các điểm cực trị của hàm số.
Khảo sát tính đơn điệu của hàm số.
Vẽ đồ thị hàm số (nếu yêu cầu).

Phương Pháp Giải

Để giải Câu 15 trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, chúng ta có thể áp dụng các bước sau:

Bước 1: Xác định tập xác định của hàm số. Tập xác định là tập hợp tất cả các giá trị của x mà tại đó hàm số có nghĩa.
Bước 2: Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số. Đạo hàm bậc nhất cho biết tốc độ thay đổi của hàm số tại một điểm.
Bước 3: Tìm các điểm cực trị của hàm số. Các điểm cực trị là các điểm mà tại đó đạo hàm bậc nhất bằng 0 hoặc không tồn tại.
Bước 4: Tính đạo hàm bậc hai của hàm số. Đạo hàm bậc hai cho biết độ cong của đồ thị hàm số.
Bước 5: Khảo sát tính đơn điệu của hàm số. Sử dụng dấu của đạo hàm bậc nhất để xác định khoảng tăng, khoảng giảm của hàm số.
Bước 6: Xác định các điểm uốn của hàm số. Các điểm uốn là các điểm mà tại đó đạo hàm bậc hai bằng 0 và đổi dấu.
Bước 7: Vẽ đồ thị hàm số. Dựa vào các thông tin đã thu thập được, vẽ đồ thị hàm số một cách chính xác.

Ví Dụ Minh Họa

Giả sử hàm số được cho trong Câu 15 trang 109 là: f(x) = x³ - 3x² + 2.

Bước 1: Tập xác định của hàm số là R (tập hợp tất cả các số thực).

Bước 2: Đạo hàm bậc nhất: f'(x) = 3x² - 6x.

Bước 3: Giải phương trình f'(x) = 0, ta được x = 0 hoặc x = 2. Đây là các điểm cực trị của hàm số.

Bước 4: Đạo hàm bậc hai: f''(x) = 6x - 6.

Bước 5: Tại x = 0, f''(0) = -6 < 0, hàm số đạt cực đại tại x = 0. Tại x = 2, f''(2) = 6 > 0, hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.

Bước 6: Giải phương trình f''(x) = 0, ta được x = 1. Đây là điểm uốn của hàm số.

Lưu Ý Quan Trọng

Khi giải các bài tập về khảo sát hàm số, học sinh cần chú ý:

Kiểm tra kỹ tập xác định của hàm số.
Tính đạo hàm một cách chính xác.
Phân tích dấu của đạo hàm để xác định tính đơn điệu của hàm số.
Vẽ đồ thị hàm số một cách cẩn thận.

Ứng Dụng Thực Tế

Kiến thức về khảo sát hàm số có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của đời sống, như:

Kinh tế: Phân tích chi phí, doanh thu, lợi nhuận.
Vật lý: Mô tả chuyển động của các vật thể.
Kỹ thuật: Thiết kế các hệ thống điều khiển.

Kết Luận

Câu 15 trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải bài tập về khảo sát hàm số. Bằng cách nắm vững các kiến thức cơ bản và áp dụng phương pháp giải đúng đắn, học sinh có thể giải quyết bài toán này một cách hiệu quả.