Giải Câu 3 Trang 100 Sgk Đại Số Và Giải Tích 11 Nâng Cao

Câu 3 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 3 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng trong chương trình học.

Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các vấn đề thực tế.

toan9.edu.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập.

Chứng minh rằng

Đề bài

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương \(n\), ta luôn có bất đẳng thức sau :

\(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt n }} < 2\sqrt n \)

Lời giải chi tiết

+) Với \(n = 1\) ta có \(1 < 2\sqrt 1 \) .

Vậy (1) đúng với \(n = 1\)

+) Giả sử (1) đúng với \(n = k\), tức là ta có :

\(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} < 2\sqrt k \)

+) Ta chứng minh (1) đúng với \(n = k + 1\), tức là phải chứng minh :

\(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} \left( * \right)\)

Theo giả thiết qui nạp ta có :

\(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt k + {1 \over {\sqrt {k + 1} }}\)

Để chứng minh (*) ta cần chứng minh

\(2\sqrt k + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} \)

Thật vậy ta có :

\(\eqalign{& 2\sqrt k + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} \cr & \Leftrightarrow 2\sqrt {k\left( {k + 1} \right)} + 1 < 2\left( {k + 1} \right) \cr & \Leftrightarrow 2\sqrt {k\left( {k + 1} \right)} < 2k + 1 \cr & \Leftrightarrow 4k\left( {k + 1} \right) < {\left( {2k + 1} \right)^2} \cr} \)

\( \Leftrightarrow 4{k^2} + 4k < 4{k^2} + 4k + 1\)

\(⇔ 0 < 1\) (luôn đúng)

Vậy ta có (*) luôn đúng tức (1) đúng với \(n = k + 1\), do đó (1) đúng với mọi \(n \in \mathbb N^*\).

Tự tin bứt phá Toán lớp 11 – nền tảng vững chắc mở lối vào giảng đường đại học! Khám phá ngay Câu 3 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, nội dung chiến lược thuộc chuyên mục toán 11 trên nền tảng toán math. Bộ bài tập toán thpt được biên soạn công phu, bám sát chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng, giúp học sinh hệ thống hóa kiến thức nâng cao, rèn luyện kỹ năng tư duy và giải toán hiệu quả. Với phương pháp tiếp cận trực quan, logic và mang tính ứng dụng thực tế cao, tài liệu này sẽ là người bạn đồng hành lý tưởng trên hành trình ôn luyện chuyên sâu. Đây chính là bước đệm quan trọng giúp các em phát triển toàn diện năng lực học tập và chinh phục mục tiêu học thuật dài hạn.

Câu 3 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao: Phân tích chi tiết và Hướng dẫn Giải

Câu 3 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thường xoay quanh việc xét tính đơn điệu của hàm số, tìm cực trị, hoặc giải các bài toán liên quan đến ứng dụng đạo hàm. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, bao gồm:

Định nghĩa đạo hàm: Hiểu rõ đạo hàm của một hàm số tại một điểm là gì và cách tính đạo hàm.
Các quy tắc tính đạo hàm: Nắm vững các quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp, và các hàm số lượng giác, mũ, logarit.
Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu: Biết cách sử dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng.
Cực trị của hàm số: Hiểu rõ khái niệm cực đại, cực tiểu và cách tìm cực trị của hàm số bằng phương pháp đạo hàm.

Hướng dẫn giải chi tiết Câu 3 trang 100

Để minh họa, giả sử Câu 3 trang 100 yêu cầu xét tính đơn điệu của hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2. Chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm f'(x): f'(x) = 3x² - 6x
Tìm các điểm dừng: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0. Trong trường hợp này, 3x² - 6x = 0 => x(3x - 6) = 0 => x = 0 hoặc x = 2.
Xét dấu đạo hàm trên các khoảng:
- Khoảng (-∞, 0): Chọn x = -1, f'(-1) = 3(-1)² - 6(-1) = 9 > 0 => Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞, 0).
- Khoảng (0, 2): Chọn x = 1, f'(1) = 3(1)² - 6(1) = -3 < 0 => Hàm số nghịch biến trên khoảng (0, 2).
- Khoảng (2, +∞): Chọn x = 3, f'(3) = 3(3)² - 6(3) = 9 > 0 => Hàm số đồng biến trên khoảng (2, +∞).
Kết luận: Hàm số f(x) đồng biến trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞), nghịch biến trên khoảng (0, 2). Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và cực tiểu tại x = 2.

Các dạng bài tập tương tự và phương pháp giải

Ngoài dạng bài tập xét tính đơn điệu, Câu 3 trang 100 và các bài tập tương tự có thể yêu cầu:

Tìm cực trị của hàm số: Sử dụng đạo hàm bậc hai để xác định cực đại, cực tiểu.
Giải các bài toán tối ưu: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng cho trước.
Ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán thực tế: Ví dụ, tìm vận tốc, gia tốc của một vật chuyển động.

Để giải quyết các bài toán này, học sinh cần rèn luyện kỹ năng tính đạo hàm, xét dấu đạo hàm, và vận dụng các kiến thức về cực trị, ứng dụng đạo hàm một cách linh hoạt.

Lưu ý khi giải bài tập

Khi giải các bài tập về đạo hàm, học sinh cần chú ý:

Kiểm tra kỹ điều kiện xác định của hàm số.
Tính đạo hàm chính xác.
Xét dấu đạo hàm cẩn thận.
Kết luận chính xác về tính đơn điệu, cực trị của hàm số.

Tài liệu tham khảo và hỗ trợ học tập

Ngoài SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:

Sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
Các trang web học toán online uy tín như toan9.edu.vn.
Các video bài giảng trên YouTube.

toan9.edu.vn hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh sẽ tự tin giải quyết Câu 3 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao và các bài tập tương tự một cách hiệu quả.