Giải Câu 27 Trang 112 Sgk Hình Học 11 Nâng Cao

Câu 27 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao

Câu 27 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng trong chương trình Hình học 11 Nâng cao.

Bài toán này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, đặc biệt là các tính chất về quan hệ song song, vuông góc. Việc giải bài toán này đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về lý thuyết và khả năng áp dụng linh hoạt vào thực tế.

toan9.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu cùng với các phương pháp giải bài toán này, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.

Cho hai tam giác ACD, BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.

Đề bài

Cho hai tam giác ACD, BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.

a. Tính AB, IJ theo a và x.

b. Với giá trị nào của x thì hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc ?

Lời giải chi tiết

Câu 27 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao 1

a. Vì J là trung điểm của CD và AC = AD nên AJ ⊥ CD.

Do mp(ACD) ⊥ mp(BCD) nên AJ ⊥ mp(BCD)

Mặt khác, AC = AD = BC = BD nên tam giác AJB vuông cân, suy ra \(AB = AJ\sqrt 2 ,A{J^2} = {a^2} - {x^2}\) \(hay\,AJ = \sqrt {{a^2} - {x^2}} .\)

Vậy \(AB = \sqrt {2\left( {{a^2} - {x^2}} \right)} \) với a > x

Do IA = IB, tam giác AJB vuông tại J nên \(JI = {1 \over 2}AB,\) tức là \(IJ = {1 \over 2}\sqrt {2\left( {{a^2} - {x^2}} \right)} .\)

+Tam giác ABC có AC = BC

nên tam giác ABC cân tại C,

có CI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao:

CI ⊥ AB (3)

Tam giác ABD cân tại D có DI là đường trung tuyến nên

DI ⊥ AB (4)

Hai mp (ABC) và (ABD) cắt nhau theo giao tuyến là AB (5)

Từ (3) , (4) và (5) suy ra góc giữa hai mp(ABC) và (ABD) là góc CID.

Vậy mp(ABC) ⊥ mp(ABD) \( \Leftrightarrow \widehat {CID} = 90^\circ \)

\( \Leftrightarrow IJ = {1 \over 2}CD\) \(\Leftrightarrow {1 \over 2}\sqrt {2\left( {{a^2} - {x^2}} \right)} = {1 \over 2}.2x\) \(\Leftrightarrow 2\left( {{a^2} - {x^2}} \right) = 4{x^2} \Leftrightarrow {a^2} = 3{x^2}\)

\(\Leftrightarrow x = {{a\sqrt 3 } \over 3}\)

Tự tin bứt phá Toán lớp 11 – nền tảng vững chắc mở lối vào giảng đường đại học! Khám phá ngay Câu 27 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao, nội dung chiến lược thuộc chuyên mục Đề thi Toán lớp 11 trên nền tảng toán math. Bộ bài tập toán thpt được biên soạn công phu, bám sát chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng, giúp học sinh hệ thống hóa kiến thức nâng cao, rèn luyện kỹ năng tư duy và giải toán hiệu quả. Với phương pháp tiếp cận trực quan, logic và mang tính ứng dụng thực tế cao, tài liệu này sẽ là người bạn đồng hành lý tưởng trên hành trình ôn luyện chuyên sâu. Đây chính là bước đệm quan trọng giúp các em phát triển toàn diện năng lực học tập và chinh phục mục tiêu học thuật dài hạn.

Giải Chi Tiết Câu 27 Trang 112 SGK Hình Học 11 Nâng Cao

Câu 27 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao thuộc chương trình học về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về:

Quan hệ song song giữa đường thẳng và mặt phẳng: Một đường thẳng song song với một mặt phẳng khi và chỉ khi nó song song với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
Quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khi và chỉ khi nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
Các định lý về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Định lý về đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng, định lý về hình chiếu vuông góc.
Các phương pháp chứng minh quan hệ song song và vuông góc: Sử dụng các định lý, tính chất đã học, phương pháp tọa độ.

Phân Tích Đề Bài

Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cần phân tích kỹ đề bài để xác định rõ yêu cầu và các dữ kiện đã cho. Thông thường, đề bài sẽ cung cấp thông tin về một hình trong không gian, các đường thẳng và mặt phẳng liên quan, và yêu cầu chứng minh một quan hệ nào đó (song song, vuông góc, đồng phẳng,...).

Lời Giải Chi Tiết

(Nội dung lời giải chi tiết của câu 27 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao sẽ được trình bày tại đây. Lời giải cần bao gồm các bước giải rõ ràng, logic, sử dụng các kiến thức và phương pháp đã nêu trên. Cần có hình vẽ minh họa nếu cần thiết.)

Ví Dụ Minh Họa

Để giúp các em hiểu rõ hơn về cách giải bài toán này, chúng ta sẽ xem xét một ví dụ minh họa tương tự:

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Gọi M là trung điểm của CD. Chứng minh rằng SM vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

Lời giải:

Ta có: CD ⊥ AD (vì ABCD là hình vuông).
Ta có: CD ⊥ CM (vì M là trung điểm của CD).
Suy ra: CD ⊥ (ADM).
Vì SM ⊥ CD và CD ⊥ (ADM) nên SM ⊥ (ABCD).

Các Dạng Bài Tập Tương Tự

Ngoài câu 27 trang 112, còn rất nhiều bài tập tương tự về quan hệ song song và vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp:

Chứng minh một đường thẳng song song với một mặt phẳng.
Chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng.
Tính góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng.
Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Mẹo Giải Bài Tập

Để giải các bài tập về quan hệ song song và vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng một cách hiệu quả, các em có thể tham khảo một số mẹo sau:

Vẽ hình chính xác và rõ ràng.
Phân tích kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu.
Vận dụng linh hoạt các định lý, tính chất đã học.
Sử dụng phương pháp tọa độ khi cần thiết.
Kiểm tra lại kết quả sau khi giải xong.

Tổng Kết

Câu 27 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng giúp các em củng cố kiến thức về quan hệ song song và vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Hy vọng với lời giải chi tiết và các phương pháp giải đã trình bày, các em sẽ tự tin giải quyết bài toán này và các bài tập tương tự một cách hiệu quả.

toan9.edu.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán. Chúc các em học tập tốt!