Lý thuyết Logarit - SGK Toán 11 Cùng khám phá

A. Lý thuyết

1. Khái niệm logarit

a) Định nghĩa

Lưu ý:

- Không tồn tại logarit của số âm và số 0.

- Logarit cơ số 10 của một số dương b là logarit thập phân của b, ký hiệu logb hay lgb.

- Logarit cơ số e của một số dương b là logarit tự nhiên (hay logarit Nê-pe) của b, ký hiệu lnb.

b) Tính chất

2. Quy tắc tính logarit

a) Logarit của một tích và logarit của một thương

Lưu ý: \({\log _a}\frac{1}{b} = - {\log _a}b\).

b) Logarit của một lũy thừa

Lưu ý : \({\log _a}\sqrt[n]{b} = \frac{1}{n}{\log _a}b\) \((n \in \mathbb{N},n \ge 2)\).

c) Đổi cơ số

Lưu ý:

- Với a, b là hai số thực dương khác 1, ta có \({\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}\) hay \({\log _a}b.{\log _b}a = 1\).

- Với a là một số dương khác 1, b là số thực dương và \(\alpha \ne 0\), ta có \({\log _{{a^\alpha }}} = \frac{1}{\alpha }{\log _a}b\).

3. Một số ứng dụng trong thực tế

a) Độ mạnh của động đất

\(R = \log \frac{A}{{{A_0}}}\) (độ Richter).

b) Độ pH trong hóa học

\(pH = - \log [{H^ + }]\).

B. Bài tập

Bài 1: Tính:

a) \({\log _2}8\).

b) \({\log _{\frac{1}{2}}}4\).

c) \({\log _3}\frac{1}{{27}}\).

Giải:

a) \({\log _2}8 = 3\) vì \({2^3} = 8\).

b) \({\log _{\frac{1}{2}}}4 = - 2\) vì \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 2}} = 4\).

c) \({\log _3}\frac{1}{{27}} = - 3\) vì \({3^{ - 3}} = \frac{1}{{27}}\).

Bài 2: Tính:

a) \({3^{2{{\log }_3}5}}\).

b) \({\log _{\frac{1}{2}}}\sqrt {\frac{1}{8}} \).

Giải:

a) \({3^{2{{\log }_3}5}} = {({3^{{{\log }_3}5}})^2} = {5^2} = 25\).

b) \({\log _{\frac{1}{2}}}\sqrt {\frac{1}{8}} = {\log _{\frac{1}{2}}}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{3}{2}\).

Bài 3: Không sử dụng máy tính cầm tay, tính các giá trị biểu thức sau:

a) \(A = {\log _6}3 + {\log _6}12\).

b) \(B = {\log _7}21 - {\log _7}147\).

Giải:

a) \(A = {\log _6}3 + {\log _6}12 = {\log _6}(3.12) = {\log _6}(36) = 2\).

b) \(B = {\log _7}21 - {\log _7}147 = {\log _7}\frac{{21}}{{147}} = {\log _7}\frac{1}{7} = {\log _7}{7^{ - 1}} = - 1\).

Bài 4: Cho \(a = {\log _3}x\); \(b = {\log _3}y\); \(c = {\log _3}z\). Tính \({\log _3}\left( {\frac{{\sqrt[3]{x}}}{{{y^2}.{z^4}}}} \right)\) theo a, b, c.

Giải:

\({\log _3}\left( {\frac{{\sqrt[3]{x}}}{{{y^2}.{z^4}}}} \right) = {\log _3}\sqrt[3]{x} - ({\log _3}{y^2} + {\log _3}{z^4}) = \frac{1}{3}{\log _3}x - (2{\log _3}y + 4{\log _3}z) = \frac{1}{3}a - 2b - 4c\).

Bài 5:

a) Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức \({\log _{\frac{1}{4}}}({\log _3}4.{\log _2}3)\).

b) Cho \(\alpha = {\log _3}45\). Tính \({\log _{45}}5\) theo a.

Giải:

a) \({\log _{\frac{1}{4}}}({\log _3}4.{\log _2}3) = {\log _{\frac{1}{4}}}(2{\log _3}2.{\log _2}3) = {\log _{\frac{1}{4}}}2 = {\log _{{2^{ - 2}}}}2 = - \frac{1}{2}\).

b) Ta có \(\alpha = {\log _3}45 = {\log _3}({3^2}.5) = 2{\log _3}3 + {\log _3}5 = 2 + {\log _3}5\).

Suy ra \({\log _3}5 = \alpha - 2\). Vậy \({\log _{45}}5 = \frac{{{{\log }_3}5}}{{{{\log }_3}45}} = \frac{{\alpha - 2}}{\alpha }\).