Chương IX. Công thức cộng và công thức nhân xác suất

Chương IX: Công thức cộng và công thức nhân xác suất - Tổng quan

Chương IX trong SGK Toán 11 tập 2 đi sâu vào việc tính xác suất của các biến cố phức tạp thông qua hai công thức quan trọng: công thức cộng xác suất và công thức nhân xác suất. Việc nắm vững hai công thức này là nền tảng để giải quyết hầu hết các bài toán xác suất trong chương trình học và các ứng dụng thực tế.

1. Công thức cộng xác suất

Công thức cộng xác suất được sử dụng để tính xác suất của một biến cố là hợp của hai biến cố (A hoặc B xảy ra). Có hai trường hợp cần phân biệt:

• Hai biến cố xung khắc: Nếu A và B là hai biến cố xung khắc (không thể xảy ra đồng thời), thì P(A∪B) = P(A) + P(B).
• Hai biến cố không xung khắc: Nếu A và B là hai biến cố không xung khắc, thì P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B).

Trong đó:

• P(A∪B) là xác suất của biến cố A hoặc B xảy ra.
• P(A) là xác suất của biến cố A.
• P(B) là xác suất của biến cố B.
• P(A∩B) là xác suất của biến cố A và B xảy ra đồng thời.

2. Công thức nhân xác suất

Công thức nhân xác suất được sử dụng để tính xác suất của một biến cố là giao của hai biến cố (A và B xảy ra đồng thời). Tương tự như công thức cộng xác suất, có hai trường hợp:

• Hai biến cố độc lập: Nếu A và B là hai biến cố độc lập (việc xảy ra của A không ảnh hưởng đến việc xảy ra của B), thì P(A∩B) = P(A) * P(B).
• Hai biến cố phụ thuộc: Nếu A và B là hai biến cố phụ thuộc, thì P(A∩B) = P(A) * P(B|A), hoặc P(A∩B) = P(B) * P(A|B).

Trong đó:

• P(A∩B) là xác suất của biến cố A và B xảy ra đồng thời.
• P(A) là xác suất của biến cố A.
• P(B) là xác suất của biến cố B.
• P(B|A) là xác suất của biến cố B xảy ra khi biến cố A đã xảy ra.
• P(A|B) là xác suất của biến cố A xảy ra khi biến cố B đã xảy ra.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Gieo một con xúc xắc sáu mặt một lần. Tính xác suất để mặt xuất hiện là số chẵn hoặc số chia hết cho 3.

Giải:

• A: Mặt xuất hiện là số chẵn. P(A) = 3/6 = 1/2
• B: Mặt xuất hiện là số chia hết cho 3. P(B) = 2/6 = 1/3
• A∩B: Mặt xuất hiện là số chẵn và chia hết cho 3 (số 6). P(A∩B) = 1/6
• P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 1/2 + 1/3 - 1/6 = 2/3

Ví dụ 2: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đỏ.

Giải:

• A: Quả bóng thứ nhất lấy được là màu đỏ. P(A) = 5/8
• B: Quả bóng thứ hai lấy được là màu đỏ (khi quả bóng thứ nhất đã lấy là màu đỏ). P(B|A) = 4/7
• P(A∩B) = P(A) * P(B|A) = 5/8 * 4/7 = 5/14

4. Bài tập áp dụng

Để củng cố kiến thức về công thức cộng và công thức nhân xác suất, các em có thể thực hành giải các bài tập sau:

1. Một túi chứa 4 quả bóng trắng, 3 quả bóng đen. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng. Tính xác suất để 2 quả bóng lấy được khác màu.
2. Gieo hai con xúc xắc sáu mặt một lần. Tính xác suất để tổng số chấm trên hai con xúc xắc bằng 7.
3. Một hộp chứa 6 sản phẩm, trong đó có 2 sản phẩm lỗi. Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm. Tính xác suất để có ít nhất 1 sản phẩm lỗi.

5. Kết luận

Chương IX đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và quan trọng về công thức cộng và công thức nhân xác suất. Việc hiểu rõ và vận dụng linh hoạt hai công thức này sẽ giúp các em giải quyết các bài toán xác suất một cách hiệu quả và chính xác. Chúc các em học tập tốt!