Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 1 trang 59, 60, 61, 62 SGK Toán 11 tập 1 trên toan9.edu.vn. Bài viết này sẽ cung cấp cho các em lời giải đầy đủ, chính xác và dễ hiểu nhất, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những tài liệu học tập chất lượng cao, hỗ trợ các em trong quá trình học tập môn Toán.
Cho dãy số (({u_n})) được xác định bởi ({u_n} = frac{1}{n})
Cho dãy số (\({u_n}\)) được xác định bởi \({u_n} = \frac{1}{n}\)
a, Tính giá trị của \({u_1},{u_2},{u_3},{u_4},{u_{10}}\)và biểu diễn chúng trên trục số thực dưới đây:
b, Khi n tăng thì khoảng cách giữa \({u_n}\) và 0 thay đổi thế nào ? Điều đó thể hiện thế nào trên trục số.
c, Bắt đầu từ số hạng thứ mấy thì khoảng cách từ \({u_n}\) đến 0 nhỏ hơn 0,01? Câu hỏi tương tự với 0,001; 0,00001.
Phương pháp giải:
a, Lần lượt thay giá trị n=1, n= 2, n=3, n=4, n= 10 vào công thức \({u_n} = \frac{1}{n}\) để được các giá trị tương ứng \({u_1},{u_2},{u_3},{u_4},{u_{10}}\).
b, Khoảng cách giữa \({u_n}\) và 0 là giá trị của \({u_n}\).
Khi n tăng thì giá trị \(\frac{1}{n}\) càng nhỏ, khoảng cách giữa \({u_n}\) và 0 càng gần nhau hơn.
Trên trục số, các giá trị n càng lớn thì khoảng cách giữa \({u_n}\) và 0 càng nhỏ.
c, 0,01=\(\frac{1}{{100}}\)= \({u_{100}}\). Với các giá trị n > 100 thì khoảng cách \({u_n}\) đến 0 nhỏ hơn 0,01.
Lời giải chi tiết:
a, Ta có: \({u_1} = \frac{1}{1} = 1\), \({u_2} = \frac{1}{2}\), \({u_3} = \frac{1}{3}\), \({u_4} = \frac{1}{4}\), \({u_{10}} = \frac{1}{{10}}\).
Biểu diễn trên trục số:
b, Khi n tăng thì \(\frac{1}{n}\) càng nhỏ do đó, khoảng cách giữa \({u_n}\) và 0 càng nhỏ khi n tăng.
c, Ta có : 0,01=\(\frac{1}{{100}}\)= \({u_{100}}\). Với các giá trị n > 100 thì khoảng cách \({u_n}\) đến 0 nhỏ hơn 0,01. Vậy bắt đầu từ số hạng thứ 101 thì khoảng cách \({u_n}\) đến 0 nhỏ hơn 0,01.
Tương tự:
0,001= \(\frac{1}{{1000}}\)=\({u_{1000}}\)
Vậy bắt đầu từ số hạng 1001 thì khoảng cách \({u_n}\) đến 0 nhỏ hơn 0,001.
0,00001=\(\frac{1}{{100000}} = {u_{100000}}\).
Vậy bắt đầu từ số hạng 100001 thì khoảng cách \({u_n}\) đến 0 nhỏ hơn 0,00001.
Cho dãy số (\({u_n}\)) với \({u_n} = {(\frac{1}{2})^n}\)
a, Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.
b, Khi giá trị n càng lớn thì khoảng cách giữa \({u_n}\) và 0 thay đổi thế nào?
Phương pháp giải:
a, Thay các giá trị n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, n = 5 vào công thức \({u_n} = {(\frac{1}{2})^n}\) để được năm số hạng đầu tiên của dãy.
\({u_1} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^1} = \frac{1}{2}\); \({u_2} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4}\); \({u_3} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} = \frac{1}{8}\); \({u_4} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^4} = \frac{1}{{16}}\); \({u_5} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^5} = \frac{1}{{32}}\)
b, Khi n càng tăng thì giá trị \({u_n}\) càng nhỏ. Do đó, khoảng cách \({u_n}\) và 0 càng nhỏ.
Lời giải chi tiết:
a, Ta có :
\({u_1} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^1} = \frac{1}{2}\); \({u_2} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4}\); \({u_3} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} = \frac{1}{8}\); \({u_4} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^4} = \frac{1}{{16}}\); \({u_5} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^5} = \frac{1}{{32}}\)
Vậy năm số hạng đầu tiên của dãy số là: \(\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};\frac{1}{{16}};\frac{1}{{32}}\).
b, Khi n càng tăng thì khoảng cách \({u_n}\) và 0 càng nhỏ.
Cho dãy số (\({u_n}\)) với \({u_n}\)=\(\frac{{3n + 1}}{n}\). Xét dãy số (\({v_n}\)) với \({v_n} = {u_n} - 3\). Viết công thức tính số hạng tổng quát \({v_n}\)và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n}\).
Phương pháp giải:
Thay \({u_n}\)=\(\frac{{3n + 1}}{n}\) vào công thức \({v_n} = {u_n} - 3\) để được số hạng tổng quát của \({v_n}\).
Sử dụng phần lưu ý mục 1 là \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{n} = 0\) để tính \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \({v_n} = {u_n} - 3\)= \(\frac{{3n + 1}}{n} - 3 = \frac{{3n + 1 - 3n}}{n} = \frac{1}{n}\).
Khi đó, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n}\)=\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{n} = 0\).
Chứng minh rằng: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 - 4{n^2}}}{{{n^2}}} = - 4\).
Phương pháp giải:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {\frac{{1 - 4{n^2}}}{{{n^2}}} - ( - 4)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{n^2}}} = 0\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {\frac{{1 - 4{n^2}}}{{{n^2}}} - ( - 4)} \right]\)
=\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{{1 - 4{n^2}}}{{{n^2}}} + 4} \right)\)
=\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (\frac{{1 - 4{n^2} + 4{n^2}}}{{{n^2}}})\)
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{n^2}}} = 0\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 - 4{n^2}}}{{{n^2}}} = - 4\).
a, Chứng minh rằng \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{6{n^3} + 1}}{{{n^3}}} = 6\)
b, So sánh \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{6{n^3} + 1}}{{{n^3}}}\) và \((\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } 6 + \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{n^3}}})\).
Phương pháp giải:
a, Tính \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (\frac{{6{n^3} + 1}}{{{n^3}}} - 6) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{n^3}}} = 0\).
b, Tính \((\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } 6 + \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{n^3}}})\) và sử dụng kết quả câu a để so sánh.
Lời giải chi tiết:
a, Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (\frac{{6{n^3} + 1}}{{{n^3}}} - 6)\)
= \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{{6{n^3} + 1 - 6{n^3}}}{{{n^3}}}} \right)\)
= \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{n^3}}} = 0\).
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{6{n^3} + 1}}{{{n^3}}} = 6\).
b, Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } 6 = 6\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{n^3}}} = 0\)
Do đó: \((\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } 6 + \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{n^3}}})\)= 6
Vậy: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{6{n^3} + 1}}{{{n^3}}}\) = \((\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } 6 + \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{n^3}}})\).
Tìm \(\lim \frac{{6 - 7{n^2}}}{{2{n^3} + 9}}\) và \(\lim \frac{{{5^n} + {{2.6}^n}}}{{{6^n} + {4^n}}}\)
Phương pháp giải:
Tính \(\lim \frac{{6 - 7{n^2}}}{{2{n^3} + 9}}\) chia cả tử và mẫu cho \({n^3}\)
Tính \(\lim \frac{{{5^n} + {{2.6}^n}}}{{{6^n} + {4^n}}}\) chia cả tử và mẫu cho \({6^n}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\frac{{6 - 7{n^2}}}{{2{n^3} + 9}} = \frac{{6.\frac{1}{{{n^3}}} - 7.\frac{1}{n}}}{{2 + 9.\frac{1}{{{n^3}}}}}\)
Vì lim 6=6, lim 7=7, lim 2= 2, lim 9=9, \(\lim \frac{1}{{{n^3}}} = 0\), \(\lim \frac{1}{n} = 0\) nên:
\(\lim (6.\frac{1}{{{n^3}}} - 7.\frac{1}{n}) = 6.0 + 7.0 = 0\) và \(\lim (2 + 9.\frac{1}{{{n^3}}}) = 2 + 9.0 = 2\)
Vậy \(\lim \frac{{6 - 7{n^2}}}{{2{n^3} + 9}}\) \( = 0\).
Ta có: \(\frac{{{5^n} + {{2.6}^n}}}{{{6^n} + {4^n}}}\) = \(\frac{{{{(\frac{5}{6})}^n} + 2}}{{1 + {{(\frac{4}{6})}^n}}} = \frac{{{{(\frac{5}{6})}^n} + 2}}{{1 + {{(\frac{2}{3})}^n}}}\)
Vì \(\lim {(\frac{5}{6})^n} = 0\); \(\lim {(\frac{2}{3})^n} = 0\); \(\lim 2 = 2\); \(\lim 1 = 1\) nên :
\(\lim \left[ {{{(\frac{5}{6})}^n} + 2} \right] = 2\)và \(\lim \left[ {1 + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}} \right] = 1\)
Vậy \(\lim \frac{{{5^n} + {{2.6}^n}}}{{{6^n} + {4^n}}}\)= 2.
1.Chứng minh rằng dãy số (\({u_n}\)) và (\({v_n}\)) với công thức tính số hạng tổng quát lần lượt là \({u_n} = {(\frac{1}{2})^n}\) và \({v_n} = 2.{(\frac{{ - 2}}{3})^n}\) là cấp số nhân mà công bội của chúng có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1.
2.Cho cấp số nhân (\({u_n}\)) có công bội q. ( \(\left| q \right| < 1\))
a, Viết công thức tính tổng \({S_n}\) của n số hạng đầu tiên của (\({u_n}\)) theo \({u_1}\) và q.
b, Nếu quy ước S=\({u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ... = \lim {S_n}\), hãy tính S theo \({u_1}\) và q.
Phương pháp giải:
1.Tìm công bội q của dãy số (\({u_n}\)) và (\({v_n}\)) để chứng minh là cấp số nhân
2. a, Viết công thức tính \({S_n}\) của cấp số nhân \({S_n} = \frac{{{u_{1.}}.(1 - {q^n})}}{{1 - q}}\)
b, Dựa vào lim\({q^n} = 0\), tính lim \({S_n}\).
Lời giải chi tiết:
1.Chứng minh dãy số (\({u_n}\)) là cấp số nhân
Ta có: \({u_{n + 1}} = {(\frac{1}{2})^{n + 1}}\) ; \({u_n} = {(\frac{1}{2})^n}\)
\( \Rightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{(\frac{1}{2})}^{n + 1}}}}{{{{(\frac{1}{2})}^n}}} = \frac{1}{2}\)
Vậy dãy số (\({u_n}\)) là cấp số nhân với công bội q=\(\frac{1}{2}\).
Chứng minh dãy số (\({v_n}\)) là cấp số nhân
Ta có: \({v_{n + 1}} = 2.{(\frac{{ - 2}}{3})^{n + 1}}\); \({v_n} = 2.{(\frac{{ - 2}}{3})^n}\)
\( \Rightarrow \frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \frac{{2.{{(\frac{{ - 2}}{3})}^{n + 1}}}}{{2.{{(\frac{{ - 2}}{3})}^n}}} = \frac{{ - 2}}{3}\)
Vậy dãy số (\({v_n}\)) là cấp số nhân với công bội \(q = \frac{{ - 2}}{3}\).
2. a, Tổng \({S_n}\) của n số hạng đầu tiên của (\({u_n}\)) theo \({u_1}\) và q là: \({S_n} = \frac{{{u_{1.}}.(1 - {q^n})}}{{1 - q}}\)
b, S=\({u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ... = \lim {S_n}\)= \(\lim \frac{{{u_1}.(1 - {q^n})}}{{1 - q}}\)
Ta có lim \({q^n} = 0\)( với \(\left| q \right| < 1\)) \( \Rightarrow \lim (1 - {q^n}) = 1\), lim \({u_1} = {u_1}\), lim (1-q)=1-q
lim\({S_n} = \)\(\frac{{1.{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\).
Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn S= \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^n}}} + ...\)
Phương pháp giải:
S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \(q = \frac{1}{2}\) và \({u_1} = 1\) .Áp dụng công thức S=\(\frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\) để tính tổng.
Lời giải chi tiết:
Ta có S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \(q = \frac{1}{2}\) và \({u_1} = 1\).
S=\(\frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\)=\(\frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{\frac{1}{2}}} = 2\).
Mục 1 của SGK Toán 11 tập 1 thường tập trung vào các khái niệm cơ bản về hàm số, bao gồm định nghĩa hàm số, tập xác định, tập giá trị, và các tính chất của hàm số. Việc nắm vững những kiến thức này là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình học.
Các bài tập trên trang 59 thường yêu cầu học sinh xác định xem một biểu thức có phải là hàm số hay không, tìm tập xác định của hàm số, và kiểm tra tính liên tục của hàm số. Để giải quyết những bài tập này, học sinh cần hiểu rõ định nghĩa hàm số và các điều kiện để một biểu thức trở thành hàm số.
Trang 60 tập trung vào việc tìm tập giá trị của hàm số. Học sinh cần sử dụng các phương pháp như xét dấu, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số để xác định tập giá trị. Việc hiểu rõ đồ thị hàm số cũng rất hữu ích trong việc tìm tập giá trị.
Các bài tập trên trang 61 yêu cầu học sinh xác định tính chẵn, lẻ của hàm số, tính đơn điệu của hàm số, và tìm các điểm cực trị của hàm số. Để giải quyết những bài tập này, học sinh cần nắm vững các định nghĩa và tính chất của hàm số, cũng như các phương pháp chứng minh tính chất của hàm số.
Trang 62 thường chứa các bài tập tổng hợp, kết hợp nhiều kiến thức và kỹ năng đã học. Những bài tập này đòi hỏi học sinh phải có khả năng phân tích, tổng hợp và vận dụng kiến thức một cách linh hoạt.
Bài tập: Tìm tập xác định của hàm số f(x) = √(x - 2).
Giải: Hàm số f(x) xác định khi và chỉ khi x - 2 ≥ 0, tức là x ≥ 2. Vậy tập xác định của hàm số là [2, +∞).
Việc giải các bài tập mục 1 trang 59, 60, 61, 62 SGK Toán 11 tập 1 là bước quan trọng để nắm vững kiến thức cơ bản về hàm số. Hy vọng rằng với những hướng dẫn chi tiết và phương pháp giải hiệu quả trên đây, các em sẽ tự tin giải quyết các bài tập và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
| Bài tập | Trang | Chủ đề |
|---|---|---|
| Bài 1 | 59 | Định nghĩa hàm số |
| Bài 2 | 60 | Tập giá trị |
| Bài 3 | 61 | Tính chất hàm số |
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
