Giải mục 1 trang 16, 17 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Cho hai góc a và b, với \(0 < b < a < \pi \). Trên đường tròn lượng giác, xét các điểm \(P\left( {\cos a;\sin a} \right)\) và \(Q\left( {\cos b;\sin b} \right)\).

a) Dùng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm, giải thích vì sao: \(P{Q^2} = 2 - 2\cos \cos b - 2\sin a\sin b\).

b) Dùng định lý côsin, giải thích vì sao: \(P{Q^2} = 2 - 2\cos \left( {a - b} \right)\).

c) Từ đó suy ra \(\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b\).

Phương pháp giải:

a) \(P\left( {a;b} \right),Q\left( {c;d} \right)\)

Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm: \(PQ = \sqrt {{{\left( {c - a} \right)}^2} + {{\left( {d - b} \right)}^2}} \)

b) Tam giác ABC

Định lý Côsin: \(\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}}\)

Lời giải chi tiết:

a)

 \(\begin{array}{l}P{Q^2} = {\left( {\cos b - \cos a} \right)^2} + {\left( {\sin b - \sin a} \right)^2}\\ = {\cos ^2}b - 2\cos b\cos a + {\cos ^2}a + {\sin ^2}b - 2\sin b\sin a + {\sin ^2}a\\ = \left( {{{\sin }^2}a + {{\cos }^2}a} \right) + \left( {{{\sin }^2}b + {{\cos }^2}b} \right) - 2\cos a\cos b - 2\sin a\sin b\\ = 2 - 2\cos a\cos b - 2\sin a\sin b\end{array}\)

b)

\(\begin{array}{l}\cos \left( {a - b} \right) = \frac{{O{P^2} + O{Q^2} - P{Q^2}}}{{2OP.OQ}}\\ = \frac{{{1^2} + {1^2} - \left( {2 - 2\cos a\cos b - 2\sin a\sin b} \right)}}{2}\\ = \frac{{2 - 2 + 2\cos a\cos b + 2\sin a\sin b}}{2}\\ = \cos a\cos b + \sin a\sin b\end{array}\)

\( \Rightarrow P{Q^2} = 2 - 2\cos \left( {a - b} \right)\).

c) Từ phần b suy ra \(\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b\).

Tính giá trị chính xác của:

a) \(\sin \frac{\pi }{{12}}\);

b) \(\frac{{\tan {{64}^0} - \tan {{19}^0}}}{{1 + \tan {{64}^0}\tan {{19}^0}}}\).

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức cộng.

Lời giải chi tiết:

a)

\(\begin{array}{l}\sin \frac{\pi }{{12}} = \sin \left( {\frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{4} - \cos \frac{\pi }{3}\sin \frac{\pi }{4}\\ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}\end{array}\)

b) \(\frac{{\tan {{64}^0} - \tan {{19}^0}}}{{1 + \tan {{64}^0}\tan {{19}^0}}} = \tan \left( {{{64}^0} - {{19}^0}} \right) = \tan {45^0} = 1\)

Một dòng điện xoay chiều có cường độ dòng điện i (ampe) tại thời điểm t (giây) được tính bởi công thức: \(i = 4\cos \left( {\frac{{131\pi }}{{12}}t} \right)\)

Tính giá trị chính xác của cường độ dòng điện i tại thời điểm t = 1 (giây).

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức cộng.

Lời giải chi tiết:

Cường độ dòng điện i tại thời điểm t = 1 (giây)

\(\begin{array}{l}i\left( 1 \right) = 4\cos \left( {\frac{{131\pi }}{{12}}.1} \right) = 4\cos \left( {\frac{{131\pi }}{{12}}} \right) = 4\cos \left( {11\pi - \frac{\pi }{{12}}} \right)\\ = 4\cos \left( {\pi - \frac{\pi }{{12}}} \right) = 4\left( {\cos \pi \cos \frac{\pi }{{12}} + \sin \pi \sin \frac{\pi }{{12}}} \right)\\ = 4\left( { - 1.\frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4} - 0} \right) = \sqrt 2 - \sqrt 6 \end{array}\)