Bài 3.15 Trang 80 Sgk Toán 11 Tập 1 - Giải Bài Tập Toán 11 Online

Bài 3.15 trang 80 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Bài 3.15 trang 80 SGK Toán 11 tập 1: Vector chỉ phương và Vector pháp tuyến của đường thẳng

Bài 3.15 trang 80 SGK Toán 11 tập 1 yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vector chỉ phương và vector pháp tuyến của đường thẳng để giải các bài toán liên quan đến việc xác định các vector này. Bài tập này đóng vai trò quan trọng trong việc củng cố kiến thức và kỹ năng giải toán hình học giải tích.

toan9.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu Bài 3.15 trang 80 SGK Toán 11 tập 1, giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.

Vị trí ban đầu của một chất điểm trên trục \(Ox\) cách gốc tọa độ \(50cm\) về phía phải. Nó bắt đầu chuyển động trên trục \(Ox\) theo hướng dương.

Đề bài

Vị trí ban đầu của một chất điểm trên trục \(Ox\) cách gốc tọa độ \(50cm\) về phía phải. Nó bắt đầu chuyển động trên trục \(Ox\) theo hướng dương. Giây đầu tiên nó di chuyển được \(40cm\), giây thứ hai được \(20cm...\), cứ mỗi giấy tiếp theo nó di chuyển một đoạn bằng \(\frac{1}{2}\) đoạn đường đi được trong giây ngay trước đó.

a) Tính khoảng cách từ gốc \(O\) đến chất điểm sau \(5\) giây.

b) Tại thời điểm nào kể từ lúc bắt đầu chuyện động, chất điểm cách \(O\) một khoảng \(135cm\)? Giả thiết rằng chuyển động của chất điểm không bao giờ chấm dứt.

Phương pháp giải - Xem chi tiết Bài 3.15 trang 80 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá 1

Tổng của cấp số nhân là \({S_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\)

Tổng cấp số nhân lùi vô hạn là \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\) với \(\left| q \right| < 1\)

Khoảng cách từ gốc \(O\) đến chất điểm sau 5 giây chính là tổng của 5 số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

Lời giải chi tiết

a) Dựa vào dữ kiện bài toán ta thấy đoạn đường di chuyển mỗi dây của chất điểm chính là các số hạng của 1 cấp số nhân có \({u_1} = 40\) và \(q = \frac{1}{2}\)

Khi đó khoảng cách từ gốc \(O\) đến chất điểm sau 5 giây chính là

\({S_5} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} = 40 + 20 + 10 + 5 + \frac{5}{2} = 40.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^5}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 77,5\,\,cm\)

b) Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân là \({S_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\) với \({u_1} = 40\) và \(q = \frac{1}{2}\), ta có: \({S_n} = 40.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 80\left( {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right)\)

Cách 1: Chất điểm cách gốc O một đoạn bằng 135 \(cm\) tức là \({S_n} = 135\)

Suy ra: \(80\left( {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right) = 135 \Leftrightarrow 1 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = \frac{{17}}{{16}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = - \frac{{11}}{{16}}\) vô lí

Vậy chất điểm không cách \(O\) một khoảng 135 cm

Cách 2: Ta có \(\lim \,{S_n} = \lim 80\left( {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right) = 80\) do đó chất điểm chỉ cách gốc \(O\) một khoảng xa nhất là 80 cm nên chất điểm không bao giờ cách O một khoảng 135 cm

Tự tin bứt phá Toán lớp 11 – nền tảng vững chắc mở lối vào giảng đường đại học! Khám phá ngay Bài 3.15 trang 80 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá, nội dung chiến lược thuộc chuyên mục Ôn tập Toán lớp 11 trên nền tảng soạn toán. Bộ bài tập toán trung học phổ thông được biên soạn công phu, bám sát chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng, giúp học sinh hệ thống hóa kiến thức nâng cao, rèn luyện kỹ năng tư duy và giải toán hiệu quả. Với phương pháp tiếp cận trực quan, logic và mang tính ứng dụng thực tế cao, tài liệu này sẽ là người bạn đồng hành lý tưởng trên hành trình ôn luyện chuyên sâu. Đây chính là bước đệm quan trọng giúp các em phát triển toàn diện năng lực học tập và chinh phục mục tiêu học thuật dài hạn.

Bài 3.15 trang 80 SGK Toán 11 tập 1: Giải chi tiết

Bài 3.15 SGK Toán 11 tập 1 yêu cầu tìm vector chỉ phương và vector pháp tuyến của các đường thẳng sau:

a: x + 2y - 3 = 0
b: 3x - y + 1 = 0
c: x = 2
d: y = -1

Lời giải:

Để tìm vector chỉ phương và vector pháp tuyến của một đường thẳng, ta cần nắm vững các khái niệm sau:

Vector chỉ phương của đường thẳng (u): Là một vector khác vector 0, cùng phương với đường thẳng.
Vector pháp tuyến của đường thẳng (n): Là một vector khác vector 0, vuông góc với đường thẳng.

Đối với đường thẳng có phương trình tổng quát ax + by + c = 0:

Vector pháp tuyến: n = (a; b)
Vector chỉ phương: u = (-b; a) hoặc u = (b; -a)

Đối với đường thẳng có phương trình tham số:

{ x = x₀ + at y = y₀ + bt }

Vector chỉ phương: u = (a; b)
Vector pháp tuyến: n = (b; -a)

Giải chi tiết từng câu:

a: x + 2y - 3 = 0

Vector pháp tuyến: n_a = (1; 2)
Vector chỉ phương: u_a = (-2; 1)

b: 3x - y + 1 = 0

Vector pháp tuyến: n_b = (3; -1)
Vector chỉ phương: u_b = (1; 3)

c: x = 2

Đường thẳng này có dạng x = 2, tức là x - 2 = 0.
Vector pháp tuyến: n_c = (1; 0)
Vector chỉ phương: u_c = (0; 1)

d: y = -1

Đường thẳng này có dạng y = -1, tức là y + 1 = 0.
Vector pháp tuyến: n_d = (0; 1)
Vector chỉ phương: u_d = (1; 0)

Lưu ý quan trọng:

Vector chỉ phương và vector pháp tuyến của một đường thẳng không duy nhất. Chúng có thể là các vector cùng phương hoặc ngược phương.

Bài tập tương tự:

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập sau:

Tìm vector chỉ phương và vector pháp tuyến của đường thẳng 2x - 3y + 5 = 0.
Tìm vector chỉ phương và vector pháp tuyến của đường thẳng y = 3x - 2.

Kết luận:

Bài 3.15 trang 80 SGK Toán 11 tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu rõ về vector chỉ phương và vector pháp tuyến của đường thẳng. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp các em giải quyết các bài toán hình học giải tích một cách hiệu quả.

toan9.edu.vn hy vọng với lời giải chi tiết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về bài học và đạt kết quả tốt trong môn Toán.