Bài 8.4 Trang 54 Sgk Toán 11 Tập 2 - Giải Toán Online Tại Toan9.edu.vn

Bài 8.4 trang 54 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Bài 8.4 trang 54 SGK Toán 11 tập 2: Giải bài tập về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Bài 8.4 trang 54 SGK Toán 11 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về việc xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Bài tập này đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kiến thức về vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến, và các điều kiện để hai đường thẳng song song, vuông góc, cắt nhau.

Tại toan9.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 8.4 trang 54 SGK Toán 11 tập 2, giúp bạn hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AC = a,BD = 3a\). \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(BC\). Biết \(AC\) vuông góc với \(BD\), tính \(MN\).

Đề bài

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AC = a,BD = 3a\). \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(BC\). Biết \(AC\) vuông góc với \(BD\), tính \(MN\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết Bài 8.4 trang 54 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá 1

Gọi \(P\) là trung điểm của \(CD\).

Chứng minh \(NP//BD,MP//AC\) suy ra \(\left( {AC,BD} \right) = \left( {MP,NP} \right) = \widehat {MPN}\)

Dựa vào \(AC \bot BD \Rightarrow \widehat {MPN} = {90^o}\)

Dựa vào \(\Delta MNP\) vuông tại \(P\) để tính \(MN\)

Lời giải chi tiết

Bài 8.4 trang 54 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá 2

Gọi \(P\) là trung điểm của \(CD\)

\( \Rightarrow NP\) là đường trung bình của \(\Delta BCD \Rightarrow NP//BD,NP = \frac{1}{2}BD = \frac{{3a}}{2}\)

Vì \(P\) là trung điểm của \(CD\)

\( \Rightarrow MP\) là đường trung bình của \(\Delta ACD \Rightarrow MP//AC,NP = \frac{1}{2}AC = \frac{a}{2}\)

Vì \(NP//BD,MP//AC\) suy ra \(\left( {AC,BD} \right) = \left( {MP,NP} \right) = \widehat {MPN}\)

Mà \(AC \bot BD \Rightarrow \widehat {MPN} = {90^o}\)\( \Rightarrow \Delta MNP\) vuông tại \(P\)

\( \Rightarrow M{N^2} = M{P^2} + N{P^2} = {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)^2} = \frac{{10{a^2}}}{4}\)\( \Rightarrow MN = \frac{{a\sqrt {10} }}{2}\)

Tự tin bứt phá Toán lớp 11 – nền tảng vững chắc mở lối vào giảng đường đại học! Khám phá ngay Bài 8.4 trang 54 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá, nội dung chiến lược thuộc chuyên mục toán lớp 11 trên nền tảng soạn toán. Bộ bài tập toán trung học phổ thông được biên soạn công phu, bám sát chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng, giúp học sinh hệ thống hóa kiến thức nâng cao, rèn luyện kỹ năng tư duy và giải toán hiệu quả. Với phương pháp tiếp cận trực quan, logic và mang tính ứng dụng thực tế cao, tài liệu này sẽ là người bạn đồng hành lý tưởng trên hành trình ôn luyện chuyên sâu. Đây chính là bước đệm quan trọng giúp các em phát triển toàn diện năng lực học tập và chinh phục mục tiêu học thuật dài hạn.

Bài 8.4 trang 54 SGK Toán 11 tập 2: Phân tích chi tiết và hướng dẫn giải

Bài 8.4 trang 54 SGK Toán 11 tập 2 thuộc chương trình học về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Để giải quyết bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản sau:

Vectơ chỉ phương của đường thẳng: Một vectơ song song với đường thẳng.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Một vectơ vuông góc với mặt phẳng.
Phương trình đường thẳng: Dạng tham số và dạng chính tắc.
Phương trình mặt phẳng: Dạng tổng quát.
Điều kiện song song, vuông góc, cắt nhau giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Lời giải chi tiết Bài 8.4 trang 54 SGK Toán 11 tập 2

Để cung cấp lời giải chính xác, chúng ta cần xem xét nội dung cụ thể của bài toán. Giả sử bài toán yêu cầu xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, hoặc tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng. Dưới đây là một ví dụ minh họa:

Ví dụ minh họa

Cho đường thẳng (d) có phương trình tham số: x = 1 + t y = 2 - t z = 3 + 2t Và mặt phẳng (P) có phương trình: 2x - y + z - 5 = 0

Yêu cầu: Tìm góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P).

Hướng dẫn giải:

Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng (d): a = (1, -1, 2)
Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): n = (2, -1, 1)
Tính cosin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: cos(φ) = |a.n| / (||a|| * ||n||)
Tính toán: a.n = (1 * 2) + (-1 * -1) + (2 * 1) = 5 ||a|| = √(1² + (-1)² + 2²) = √6 ||n|| = √(2² + (-1)² + 1²) = √6 cos(φ) = 5 / (√6 * √6) = 5/6
Tìm góc φ: φ = arccos(5/6) ≈ 33.56°

Vậy, góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) là khoảng 33.56°.

Các dạng bài tập thường gặp trong Bài 8.4

Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
Xác định điều kiện để đường thẳng song song, vuông góc với mặt phẳng.
Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Mẹo giải nhanh Bài 8.4 trang 54 SGK Toán 11 tập 2

Để giải nhanh các bài tập về đường thẳng và mặt phẳng, bạn nên:

Nắm vững các công thức tính cosin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Sử dụng các tính chất về vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến để đơn giản hóa bài toán.
Luyện tập thường xuyên để làm quen với các dạng bài tập khác nhau.

Bài tập tương tự

Để củng cố kiến thức, bạn có thể làm thêm các bài tập tương tự trong SGK Toán 11 tập 2 và các tài liệu tham khảo khác. Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập khó hơn.

Kết luận

Bài 8.4 trang 54 SGK Toán 11 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu rõ về mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn giải trên, bạn sẽ tự tin giải quyết bài toán này và đạt kết quả tốt trong môn Toán 11.