Bài 2.24 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Bài 2.24 trang 57 SGK Toán 11 tập 1: Giải chi tiết và phương pháp

Bài 2.24 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 yêu cầu chúng ta sử dụng kiến thức về vectơ để chứng minh một đẳng thức vectơ liên quan đến trung điểm của các cạnh trong một hình bình hành. Để giải bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản về vectơ, bao gồm:

• Vectơ: Định nghĩa, các phép toán trên vectơ (cộng, trừ, nhân với một số).
• Trung điểm của đoạn thẳng: Cách xác định trung điểm của một đoạn thẳng bằng vectơ.
• Hình bình hành: Các tính chất của hình bình hành liên quan đến vectơ.

Lời giải chi tiết Bài 2.24 trang 57 SGK Toán 11 tập 1

Đề bài: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng: AC và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Lời giải:

1. Chọn hệ tọa độ: Để giải bài toán này một cách dễ dàng, chúng ta có thể chọn hệ tọa độ Oxy với gốc tọa độ là A và các vectơ AB và AD làm các vectơ đơn vị.
2. Xác định tọa độ các điểm:
   • A(0, 0)
   • B(a, 0)
   • D(0, b)
   • C(a, b)
   • M(a/2, 0) (trung điểm của AB)
   • N(a/2, b) (trung điểm của CD)
3. Tìm phương trình đường thẳng:
   • Đường thẳng AC đi qua A(0, 0) và C(a, b) có phương trình: y = (b/a)x
   • Đường thẳng MN đi qua M(a/2, 0) và N(a/2, b) có phương trình: x = a/2
4. Tìm giao điểm của AC và MN: Thay x = a/2 vào phương trình đường thẳng AC, ta được: y = (b/a)(a/2) = b/2. Vậy giao điểm của AC và MN là I(a/2, b/2).
5. Chứng minh I là trung điểm của AC và MN:
   • I là trung điểm của AC vì tọa độ của I là trung bình cộng của tọa độ A và C: I((0+a)/2, (0+b)/2) = (a/2, b/2).
   • I là trung điểm của MN vì tọa độ của I là trung bình cộng của tọa độ M và N: I((a/2+a/2)/2, (0+b)/2) = (a/2, b/2).

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng AC và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Phương pháp giải bài toán vectơ trong hình học

Để giải các bài toán vectơ trong hình học một cách hiệu quả, chúng ta nên:

• Nắm vững các định nghĩa và tính chất cơ bản của vectơ.
• Sử dụng hệ tọa độ để biểu diễn các điểm và vectơ.
• Vận dụng các phép toán trên vectơ để giải quyết bài toán.
• Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.

Bài tập tương tự

Để củng cố kiến thức về vectơ và ứng dụng trong hình học, các em có thể làm thêm các bài tập sau:

• Bài 2.25 trang 57 SGK Toán 11 tập 1
• Bài 2.26 trang 58 SGK Toán 11 tập 1

Kết luận

Bài 2.24 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 là một bài toán điển hình về ứng dụng của vectơ trong hình học. Việc nắm vững kiến thức và phương pháp giải bài toán này sẽ giúp các em tự tin hơn trong quá trình học tập môn Toán.