Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 3 trang 69, 70, 71, 72, 73 SGK Toán 11 tập 1 trên toan9.edu.vn. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải đầy đủ, chính xác và dễ hiểu cho từng bài tập, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những tài liệu học tập chất lượng cao, hỗ trợ tối đa cho các em học sinh trên con đường chinh phục môn Toán.
Cho hàm số \(y = f(x) = \frac{1}{x}\)
Cho hàm số \(y = f(x) = \frac{1}{x}\)
a, Tìm tập xác định của hàm số.
b, Tính giá trị của hàm số tại các điểm trong bảng giá trị sau:
c, Nhận xét gì về giá trị của f(x) khi x dần đến \( + \infty \)? Khi x dần đến \( - \infty \)?
Phương pháp giải:
Tập xác định là các giá trị của x để hàm số có nghĩa.
Thay giá trị của x vào hàm số để được các giá trị của f(x) tương ứng.
Lời giải chi tiết:
a, Tập xác định: R\{0}.
b, Thay lần lượt các giá trị của x vào f(x) ta được:
\(\)x dần đến \( - \infty \) thì f(x)=0
\(f( - {10^8}) = \frac{1}{{ - {{10}^8}}} = - {10^{ - 8}}\)
\(f(10) = \frac{1}{{10}}\)
\(f( - {10^3}) = \frac{1}{{ - {{10}^3}}} = - {10^{ - 3}}\)
\(f(1000) = \frac{1}{{1000}} = {10^{ - 3}}\)
\(f( - {10^2}) = \frac{1}{{ - {{10}^2}}} = - {10^{ - 2}}\)
\(f(100000) = \frac{1}{{100000}} = {10^{ - 5}}\)
\(f( - 10) = \frac{1}{{ - 10}} = \frac{{ - 1}}{{10}}\)
\(f({10^9}) = \frac{1}{{{{10}^9}}} = {10^{ - 9}}\)
x dần đến \( + \infty \) thì f(x)=0.
c, Khi x dần đến và x dần đến thì f(x)=0.
Cho hàm số \(f(x) = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}\). Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x)\).
Phương pháp giải:
Đưa x ra khỏi dấu căn để chia cả tử và mẫu cho x.
Với x dần đến \( - \infty \) thì |x| = -x
Với x dần đến \( + \infty \) thì |x| = x.
Lời giải chi tiết:
Hàm số có tập xác định là \(( - \infty ;0) \cup (0; + \infty )\)
Giả sử \(({x_n})\) là một dãy số bất kì thỏa mãn \({x_n} < 0\) và \(\lim {x_n} = - \infty \)
Ta có \(\lim f({x_n}) = \frac{{\sqrt {x_n^2 + 1} }}{{{x_n}}} = \lim \frac{{\left| {{x_n}} \right|.\sqrt {1 + \frac{1}{{x_n^2}}} }}{{{x_n}}} = \lim \frac{{ - {x_n}.\sqrt {1 + \frac{1}{{x_n^2}}} }}{{{x_n}}} = \lim ( - \sqrt {1 + \frac{1}{{x_n^2}}} ) = - 1\)
Giả sử \(({x_n})\) là một dãy số bất kì thỏa mãn \({x_n} > 0\) và \(\lim {x_n} = + \infty \)
Ta có \(\lim f({x_n}) = \frac{{\sqrt {x_n^2 + 1} }}{{{x_n}}} = \lim \frac{{\left| {{x_n}} \right|.\sqrt {1 + \frac{1}{{x_n^2}}} }}{{{x_n}}} = \lim \frac{{{x_n}.\sqrt {1 + \frac{1}{{x_n^2}}} }}{{{x_n}}} = \lim \sqrt {1 + \frac{1}{{x_n^2}}} = 1\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = - 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 1\).
Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} - 4} }}{{x + 5}}\).
Phương pháp giải:
Đưa x ra khỏi dấu căn để chia cả tử và mẫu cho x.
Với x dần đến \( - \infty \) thì |x| = -x
Lời giải chi tiết:
Hàm số có tập xác định là \(( - \infty ; - 5) \cup ( - 5; + \infty )\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} - 4} }}{{x + 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left| x \right|.\sqrt {1 - \frac{4}{{{x^2}}}} }}{{x + 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x\sqrt {1 - \frac{4}{{{x^2}}}} }}{{x + 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - \sqrt {1 - \frac{4}{{{x^2}}}} }}{{1 + \frac{5}{x}}}\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } - \sqrt {1 - \frac{4}{{{x^2}}}} = - 1\) , lim 1=1 và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{5}{x} = 0\) ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - \sqrt {1 - \frac{4}{{{x^2}}}} }}{{1 + \frac{5}{x}}} = - 1\).
Cho hàm số \(f(x) = {x^2}\) và dãy số \(({x_n})\) với \({x_n} = n + 1\)
a, Tìm \({\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{im }}{{\rm{x}}_n}\)
b, Tính \(f({x_n})\) theo n và tìm \({\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{im f(}}{{\rm{x}}_n})\).
Phương pháp giải:
a, Thay \({x_n} = n + 1\) để tìm \({\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{im }}{{\rm{x}}_n}\)
b, Thay \({x_n} = n + 1\) vào hàm số \(f(x) = {x^2}\) để tìm \(f({x_n})\)
Dựa vào câu a để xác định \({\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{im f(}}{{\rm{x}}_n})\).
Lời giải chi tiết:
a, Ta có: \({\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{im }}{{\rm{x}}_n} = \lim (n + 1)\)
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to - \infty } (n + 1) = - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (n + 1) = + \infty \).
b, Thay \({x_n} = n + 1\) vào hàm số \(f(x) = {x^2}\) ta được:
\(f({x_n}) = {(n + 1)^2}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to - \infty } {\rm{f(}}{{\rm{x}}_n}) = \mathop {\lim }\limits_{n \to - \infty } {(n + 1)^2} = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\rm{f(}}{{\rm{x}}_n}) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {(n + 1)^2} = + \infty \).
Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} + 1}}{x}\)
Phương pháp giải:
Chia tử cho mẫu để tính giới hạn
Lời giải chi tiết:
Hàm số \(f(x) = \frac{{{x^2} + 1}}{x} = x + \frac{1}{x}\) có tập xác định là \(( - \infty ;0) \cup (0; + \infty )\)
\(\forall ({x_n}),{x_n} < 0\)và \({\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{im }}{{\rm{x}}_n} = - \infty \), ta có \(\lim f({x_n}) = \lim ({x_n} + \frac{1}{{{x_n}}}) = {\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{im }}{{\rm{x}}_n}(1 + \frac{1}{{x_n^2}})\)
Vì \({\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{im x}}_n^2 = + \infty \) nên \(\lim \frac{1}{{x_n^2}} = 0\). Suy ra \(\lim (1 + \frac{1}{{x_n^2}}) = 1\)
Vì \({\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{im }}{{\rm{x}}_n} = - \infty \) và \(\lim (1 + \frac{1}{{x_n^2}}) = 1\) nên \({\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{im }}{{\rm{x}}_n}(1 + \frac{1}{{x_n^2}}) = - \infty \)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} + 1}}{x} = - \infty \).
Cho hàm số \(f(x) = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\) và g(x)=x+1
a, Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x)\)
b, Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\rm{[}}f(x).g(x){\rm{]}}\).
Phương pháp giải:
a, Với f(x) chia tử cho mẫu để tìm giới hạn
Với g(x) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (x + 1) = + \infty \)
b, Tính f(x). g(x) và dựa vào câu a xác định \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\rm{[}}f(x).g(x){\rm{]}}\)
Lời giải chi tiết:
a, Hàm số \(f(x) = \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = 1 - \frac{2}{{x + 1}}\) có tập xác định \(( - \infty , - 1) \cup ( - 1; + \infty )\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (1 - \frac{2}{{x + 1}}) = 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (x + 1) = + \infty \)
b, Ta có: \(f(x).g(x) = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}.(x + 1) = x - 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x).g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (x - 1) = + \infty \).
Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 2x} }}\).
Phương pháp giải:
Xác định \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sqrt {{x^2} + 2x} \) để tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 2x} }}\)
Lời giải chi tiết:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sqrt {{x^2} + 2x} \)=0 và \(\sqrt {{x^2} + 2x} > 0,\forall x > 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 2x} }} = + \infty \).
Trong một cuộc thi các môn thể thao trên tuyết, người ta muốn thiết kế một đường trượt bằng bang cho nội dung đổ dốc tốc độ đường dài
Vận động viên sẽ xuất phát từ vị trí (0; 15) cao 15 m so với mặt đất (trục 0x) . Đường trượt phải thỏa mãn yêu cầu là càng ra xa thì càng gần mặt đất để tiết kiệm lượng tuyết nhân tạo. Một nhà thiết kế đề nghị sử dụng đường cong là đồ thị \(y = f(x) = \frac{{150}}{{x + 10}}\) với \(x \ge 0\). Hãy kiểm tra xem hàm số y=f(x) có thỏa mãn các điều kiện dưới đây hay không:
a, Có đồ thị đi qua điểm (0,15)
b, Giảm trên \(\left[ {0, + \infty } \right]\)
c, Càng ra xa ( x càng lớn), đồ thị càng gần trục Ox với khoảng cách nhỏ tùy ý.
Phương pháp giải:
a, Thay tọa độ (0,15) vào hàm số để kiểm tra điểm có thuộc hàm số hay không?
b, Nhận xét với x càng tăng thì giá trị f(x) càng giảm
c, Tính lim f(x) khi x dần đến \( + \infty \)
Lời giải chi tiết:
a, Thay x=0 vào hàm số \(y = f(x) = \frac{{150}}{{x + 10}}\) ta được:
\(y = \frac{{150}}{{0 + 10}} = \frac{{150}}{{10}} = 15\)
Vậy điểm (0,15) thuộc đồ thị hàm số.
b, Nhận thấy khi x càng tăng thì giá trị hàm số càng giảm. Vậy hàm số \(y = f(x) = \frac{{150}}{{x + 10}}\) giảm trên \(\left[ {0, + \infty } \right]\)
c, Ta có : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{150}}{{x + 10}} = 0\)
Vậy càng ra xa ( x càng lớn), đồ thị càng gần trục Ox với khoảng cách nhỏ tùy ý.
Mục 3 trong SGK Toán 11 tập 1 thường tập trung vào một chủ đề cụ thể, ví dụ như phép biến hình, hàm số bậc hai, hoặc các khái niệm về lượng giác. Việc giải các bài tập trong mục này đòi hỏi học sinh phải nắm vững lý thuyết, hiểu rõ các định nghĩa và công thức liên quan, cũng như rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào giải quyết các bài toán thực tế.
Giải chi tiết từng bài tập từ 1 đến hết trang 69, bao gồm các bước giải, giải thích rõ ràng từng bước, và các lưu ý quan trọng. Ví dụ, nếu bài tập yêu cầu tìm tập xác định của hàm số, cần giải thích rõ các điều kiện để hàm số xác định.
Tiếp tục giải chi tiết các bài tập trên trang 70, tập trung vào việc áp dụng các công thức và định lý đã học để giải quyết các bài toán. Nếu bài tập có tính chất phức tạp, cần chia nhỏ bài toán thành các bước nhỏ hơn để dễ dàng giải quyết.
Giải các bài tập trên trang 71, chú trọng vào việc phân tích đề bài, xác định đúng phương pháp giải, và trình bày lời giải một cách rõ ràng, logic.
Giải các bài tập trên trang 72, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng giải toán, và kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.
Giải các bài tập trên trang 73, tổng hợp lại kiến thức đã học, và áp dụng vào giải quyết các bài toán tổng hợp.
Để học tập môn Toán hiệu quả, các em cần:
Hy vọng bài giải chi tiết mục 3 trang 69, 70, 71, 72, 73 SGK Toán 11 tập 1 trên toan9.edu.vn sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập. Chúc các em học tốt!
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
