Bài 4.19 trang 114 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Bài 4.19 trang 114 SGK Toán 11 tập 1: Giải chi tiết

Bài 4.19 SGK Toán 11 tập 1 yêu cầu học sinh giải một bài toán liên quan đến việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Để giải bài toán này, chúng ta cần áp dụng các kiến thức về đạo hàm, bao gồm cách tìm đạo hàm của hàm số, cách tìm điểm cực trị và cách xét dấu đạo hàm để xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.

Phân tích đề bài và xác định yêu cầu

Trước khi bắt đầu giải bài toán, chúng ta cần đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu của bài toán. Trong bài 4.19, yêu cầu chính là tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng cho trước. Điều này đòi hỏi chúng ta phải tìm được các điểm cực trị của hàm số trong khoảng đó và so sánh giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và tại các đầu mút của khoảng.

Phương pháp giải bài toán cực trị

Để giải bài toán cực trị, chúng ta có thể áp dụng các bước sau:

1. Tính đạo hàm cấp một của hàm số: Đạo hàm cấp một của hàm số, ký hiệu là f'(x), cho biết tốc độ thay đổi của hàm số tại một điểm.
2. Tìm điểm cực trị: Điểm cực trị là điểm mà tại đó đạo hàm cấp một bằng 0 hoặc không tồn tại.
3. Xác định loại điểm cực trị: Sử dụng đạo hàm cấp hai hoặc xét dấu đạo hàm cấp một để xác định xem điểm cực trị là điểm cực đại hay điểm cực tiểu.
4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và tại các đầu mút của khoảng: So sánh các giá trị này để tìm ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng đó.

Giải chi tiết Bài 4.19 trang 114 SGK Toán 11 tập 1

(Nội dung giải chi tiết bài toán sẽ được trình bày tại đây, bao gồm các bước tính toán cụ thể, giải thích rõ ràng và kết luận chính xác. Ví dụ:)

Giả sử hàm số cần xét là f(x) = x³ - 3x² + 2 trên khoảng [-1; 3].

• Bước 1: Tính đạo hàm cấp một: f'(x) = 3x² - 6x
• Bước 2: Tìm điểm cực trị: Giải phương trình f'(x) = 0, ta được x = 0 và x = 2.
• Bước 3: Xác định loại điểm cực trị: f''(x) = 6x - 6. f''(0) = -6 < 0, vậy x = 0 là điểm cực đại. f''(2) = 6 > 0, vậy x = 2 là điểm cực tiểu.
• Bước 4: Tính giá trị của hàm số: f(-1) = -6, f(0) = 2, f(2) = -2, f(3) = 2.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng [-1; 3] là 2 (tại x = 0 và x = 3) và giá trị nhỏ nhất là -6 (tại x = -1).

Lưu ý khi giải bài toán cực trị

Khi giải bài toán cực trị, cần lưu ý một số điểm sau:

• Đảm bảo rằng hàm số liên tục và có đạo hàm trên khoảng xét.
• Kiểm tra kỹ các điều kiện của bài toán để đảm bảo rằng các điểm cực trị nằm trong khoảng xét.
• Sử dụng đạo hàm cấp hai hoặc xét dấu đạo hàm cấp một một cách chính xác để xác định loại điểm cực trị.
• So sánh tất cả các giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và tại các đầu mút của khoảng để tìm ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

Ứng dụng của bài toán cực trị

Bài toán cực trị có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực khác nhau, chẳng hạn như:

• Kinh tế: Tìm giá trị tối ưu của lợi nhuận, chi phí, sản lượng.
• Kỹ thuật: Tìm kích thước tối ưu của vật thể để đảm bảo độ bền, hiệu quả.
• Vật lý: Tìm vị trí cân bằng của vật thể.

Hy vọng với lời giải chi tiết và những lưu ý trên, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về Bài 4.19 trang 114 SGK Toán 11 tập 1 và có thể tự tin giải các bài tập tương tự.