Chào mừng bạn đến với toan9.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho bài 59 trang 119 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức, hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những giải pháp học tập hiệu quả nhất, giúp bạn học toán một cách dễ dàng và thú vị.
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = a\).
Đề bài
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = a\).
a) Chứng minh răng \(C'D \bot \left( {BCD'} \right)\), \(BD' \bot C'D\) và \(\left( {BC'D} \right) \bot \left( {BCD'} \right)\).
b) Tính góc giữa hai đường thẳng \(BD\) và \(A'D'\).
c) Tính góc giữa đường thẳng \(BD\) và mặt phẳng \(\left( {CDD'C'} \right)\).
d) Tính số đo của góc nhị diện \(\left[ {B,DD',C} \right]\).
e) Tính khoảng cách từ điểm \(D\) đến mặt phẳng \(\left( {BCD'} \right)\).
g) Chứng minh \(B'C'\parallel \left( {BCD'} \right)\) và tính khoảng cách giữa đường thẳng \(B'C'\) và mặt phẳng \(\left( {BCD'} \right)\).
h) Tính thể tích của khối tứ diện \(C'BCD\) và tính khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {BC'D} \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, ta chứng minh đường thẳng đó vuông góc với 2 đường thẳng bất kỳ cắt nhau trong mặt phẳng.
Để chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc, ta cần chỉ là 1 đường thẳng nằm trên mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng kia.
b) Chỉ ra \(AD\parallel A'D'\), nên góc giữa \(BD\) và \(A'D'\) cũng bằng góc giữa \(BD\) và \(AD\), và bằng \(\widehat {ADB}\).
c) Ta chứng minh \(BC \bot \left( {DCC'D'} \right)\), do đó góc giữa đường thẳng \(BD\) và mặt phẳng \(\left( {DCC'D'} \right)\) là góc \(\widehat {BDC}\).
d) Ta chứng minh \(\widehat {BDC}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {B,DD',C} \right]\).
e) Gọi \(I\) là giao điểm của \(D'C\) và \(DC'\). Theo câu a, ta có \(DI \bot \left( {BCD'} \right)\), từ đó suy ra khoảng cách từ \(D\) đến \(\left( {BCD'} \right)\) là đoạn thẳng \(DI\).
g) Để chứng minh \(B'C'\parallel \left( {BCD'} \right)\), ta chứng minh \(B'C'\) song song với một đường thẳng trong mặt phẳng \(\left( {BCD'} \right)\). Do \(B'C'\parallel \left( {BCD'} \right)\) nên khoảng cách giữa \(B'C'\) và \(\left( {BCD'} \right)\) bằng khoảng cách từ \(C'\) đến \(\left( {BCD'} \right)\).
Theo câu a, ta có \(IC' \bot \left( {BCD'} \right)\), từ đó suy ra \(C'I\) chính là khoảng cách cần tìm.
h) Công thức tính thể tích khối chóp: \(V = \frac{1}{3}Sh\), với \(S\) là diện tích đáy và \(h\) là chiều cao của khối chóp đó.
Do \(CC' \bot \left( {BCD} \right)\) nên thể tích tứ diện \(C'BCD\) là \(V = \frac{1}{3}CC'.{S_{BCD}}\).
Do thể tích tứ diện \(C'BCD\) cũng có thể được tính bằng công thức \(V = \frac{1}{3}{d_{C,\left( {BC'D} \right)}}.{S_{BC'D}}\), ta suy ra \({d_{C,\left( {BC'D} \right)}} = \frac{{3V}}{{{S_{BC'D}}}}\).
Lời giải chi tiết
a) Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương, nên ta có \(BC \bot \left( {DCC'D'} \right)\), điều này suy ra \(BC \bot C'D\).
Vì \(DCC'D'\) là hình vuông, nên ta có \(C'D \bot CD'\).
Vậy ta có \(BC \bot C'D\), \(C'D \bot CD'\) nên ta có \(C'D \bot \left( {BCD'} \right)\). Ta có điều phải chứng minh.
Do \(C'D \bot \left( {BCD'} \right)\), ta suy ra \(BD' \bot C'D\).
Do \(C'D \bot \left( {BCD'} \right)\), mà \(C'D \subset \left( {BC'D} \right)\),ta suy ra \(\left( {BC'D} \right) \bot \left( {BCD'} \right)\).
b) Dễ thấy rằng do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương, ta có \(AD\parallel A'D'\), nên góc giữa \(BD\) và \(A'D'\) cũng bằng góc giữa \(BD\) và \(AD\), và bằng \(\widehat {ADB}\).
Do \(ABCD\) là hình vuông, nên \(\widehat {ADB} = {45^o}\).
Vậy góc giữa \(BD\) và \(A'D'\) bằng \({45^o}\).
c) Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương, nên ta có \(BC \bot \left( {DCC'D'} \right)\). Điều này suy ra \(C\) là hình chiếu của \(B\) trên \(\left( {DCC'D'} \right)\). Như vậy, góc giữa đường thẳng \(BD\) và mặt phẳng \(\left( {DCC'D'} \right)\) là góc \(\widehat {BDC}\).
Do \(ABCD\) là hình vuông, nên \(\widehat {BDC} = {45^o}\).
Vậy góc giữa đường thẳng \(BD\) và mặt phẳng \(\left( {DCC'D'} \right)\) bằng \({45^o}\).
d) Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương, ta suy ra \(DD' \bot \left( {ABCD} \right)\). Điều này dẫn tới \(DD' \bot BD\) và \(DD' \bot CD\). Vậy \(\widehat {BDC}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {B,DD',C} \right]\). Theo câu c, ta có \(\widehat {BDC} = {45^o}\). Vậy số đo của góc nhị diện \(\left[ {B,DD',C} \right]\) bằng \({45^o}\).
e) Gọi \(I\) là giao điểm của \(D'C\) và \(DC'\). Theo câu a, ta có \(C'D \bot \left( {BCD'} \right)\), nên \(DI \bot \left( {BCD'} \right)\). Vậy khoảng cách từ \(D\) đến \(\left( {BCD'} \right)\) là đoạn thẳng \(DI\).
Vì \(DCC'D'\) là hình vuông cạnh \(a\), ta suy ra \(C'D = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \). Suy ra \(DI = C'I = \frac{{C'D}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy khoảng cách từ \(D\) đến \(\left( {BCD'} \right)\) bằng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
g) Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương, ta suy ra \(B'C'\parallel BC\).
Mà \(BC \subset \left( {BCD} \right)\) nên ta suy ra \(B'C'\parallel \left( {BCD'} \right)\).
Vì \(B'C'\parallel \left( {BCD'} \right)\), nên khoảng cách giữa \(B'C'\) và \(\left( {BCD'} \right)\) cũng bằng khoảng cách từ \(C'\) đến \(\left( {BCD'} \right)\).
Theo câu a, ta có \(C'D \bot \left( {BCD'} \right)\), điều này cũng có nghĩa \(C'I \bot \left( {BCD'} \right)\), tức khoảng cách từ \(C'\) đến \(\left( {BCD'} \right)\) là đoạn thẳng \(C'I\). Mà theo câu e, vì \(C'I = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\), ta kết luận rằng khoảng cách giữa \(B'C'\) và \(\left( {BCD'} \right)\) bằng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
h) Do \(CC' \bot \left( {BCD} \right)\) nên thể tích tứ diện \(C'BCD\) là
\(V = \frac{1}{3}CC'.{S_{BCD}} = \frac{1}{3}CC'.\frac{{BC.CD}}{2} = \frac{{a.a.a}}{6} = \frac{{{a^3}}}{6}\).
Tam giác \(BC'D\) có \(BC' = C'D = BD = a\sqrt 2 \) (do chúng đều là đường chéo của các mặt của hình lập phương) nên tam giác đó đều.
Diện tích tam giác \(BC'D\) bằng \({S_{BC'D}} = \frac{{B{D^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).
Vì thể tích tứ diện \(C'BCD\) cũng có thể được tính bằng công thức \(V = \frac{1}{3}{d_{C,\left( {BC'D} \right)}}.{S_{BC'D}}\), ta suy ra \({d_{C,\left( {BC'D} \right)}} = \frac{{3.\frac{{{a^3}}}{6}}}{{\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy khoảng cách từ \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {BC'D} \right)\) bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Bài 59 trang 119 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều thuộc chương trình học về hàm số lượng giác. Bài tập này tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về phương trình lượng giác cơ bản để giải quyết các bài toán thực tế. Để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các công thức lượng giác, các phương pháp giải phương trình lượng giác và kỹ năng biến đổi đại số.
Bài 59 bao gồm các dạng bài tập sau:
Giải phương trình: sin(x) = 1/2
Lời giải:
Phương trình sin(x) = 1/2 có nghiệm là:
Giải phương trình: cos(x) = -√3/2
Lời giải:
Phương trình cos(x) = -√3/2 có nghiệm là:
Khi giải bài tập về phương trình lượng giác, học sinh cần lưu ý những điều sau:
Ví dụ: Giải phương trình 2sin(x) - 1 = 0
Lời giải:
Bài 59 trang 119 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về phương trình lượng giác. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết và các ví dụ minh họa trên, các bạn học sinh sẽ tự tin giải quyết bài tập này một cách hiệu quả. Chúc các bạn học tốt!
| Công thức | Mô tả |
|---|---|
| sin2(x) + cos2(x) = 1 | Công thức lượng giác cơ bản nhất |
| tan(x) = sin(x) / cos(x) | Công thức tính tan(x) |
| cot(x) = cos(x) / sin(x) | Công thức tính cot(x) |
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
