Chào mừng bạn đến với toan9.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho bài 43 trang 113 sách bài tập Toán 11 chương trình Cánh Diều. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức, phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi luôn cố gắng trình bày lời giải một cách rõ ràng, logic, kèm theo các ví dụ minh họa để bạn dễ dàng tiếp thu và áp dụng vào thực tế.
Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\). Gọi \(G\), \(I\), \(K\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(ABC\), \(A'B'C'\), \(A'B'B\).
Đề bài
Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\). Gọi \(G\), \(I\), \(K\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(ABC\), \(A'B'C'\), \(A'B'B\).
a) Chứng minh rằng \(IK\parallel \left( {BCC'B'} \right)\).
b) Chứng minh rằng \(\left( {AGK} \right)\parallel \left( {A'IC} \right)\).
c) Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua \(K\) và song song với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt \(A'C\) tại điểm \(L\). Tính \(\frac{{LA'}}{{LC}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(B'C'\), \(BB'\). Sử dụng định lí Thales, chứng minh rằng \(IK\parallel MN\), từ đó suy ra điều phải chứng minh.
b) Chỉ ra rằng mặt phẳng \(\left( {AGK} \right)\) cũng là mặt phẳng \(\left( {AB'P} \right)\), mặt phẳng \(\left( {A'IC} \right)\) cũng là mặt phẳng \(\left( {A'MC} \right)\). Để chứng minh \(\left( {AB'P} \right)\) song song với \(\left( {A'MC} \right)\), cần chỉ ra hai đường thẳng cắt nhau, nằm trong \(\left( {AB'P} \right)\) và song song với \(\left( {A'MC} \right)\).
c) Sử dụng định lí Thales trong không gian với trường hợp hai đường thẳng \(B'A\) và \(A'C\) cắt ba mặt phẳng song song \(\left( {ABC} \right)\), \(\left( \alpha \right)\), \(\left( {A'B'C'} \right)\) để tính tỉ số \(\frac{{LA'}}{{LC}}\).
Lời giải chi tiết
a) Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(B'C'\), \(BB'\).
Do \(I\) là trọng tâm tam giác \(A'B'C'\) nên \(I \in A'M\) và \(\frac{{A'I}}{{A'M}} = \frac{2}{3}\).
Tương tự, ta cũng có \(K \in A'N\) và \(\frac{{A'K}}{{A'N}} = \frac{2}{3}\).
Do \(\frac{{A'I}}{{A'M}} = \frac{{A'K}}{{A'N}}\) nên \(IK\parallel MN\). Vì \(MN \in \left( {BCC'B'} \right)\) nên \(IK\parallel \left( {BCC'B'} \right)\).
b) Gọi \(P\) là trung điểm cạnh \(BC\).
Do \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(G \in AP\).
Mặt khác, do \(K\) là trọng tâm tam giác \(\left( {A'B'B} \right)\) nên \(B'K\) đi qua trung điểm của \(A'B\). Vì \(ABB'A'\) là hình bình hành, nên ta suy ra \(AB'\) cũng đi qua trung điểm của \(A'B\). Do vậy, ba điểm \(A\), \(K\), \(B'\) thẳng hàng. Từ đó, mặt phẳng \(\left( {AGK} \right)\) chính là mặt phẳng \(\left( {AB'P} \right)\).
Do \(I \in A'M\), nên mặt phẳng \(\left( {A'IC} \right)\) cũng là mặt phẳng \(\left( {A'MC} \right)\). Như vậy, để chứng minh \(\left( {AGK} \right)\) song song với \(\left( {A'IC} \right)\), ta cần chứng minh \(\left( {AB'P} \right)\) song song với \(\left( {A'MC} \right)\).
Tứ giác \(MB'PC\) có \(MB' = PC\left( { = \frac{1}{2}BC} \right)\) và \(MB'\parallel PC\) nên nó là hình bình hành.
Suy ra \(B'P\parallel MC\). Do \(MC \subset \left( {A'MC} \right)\) nên \(B'P\parallel \left( {A'MC} \right)\).
Chứng minh tương tự, ta cũng có \(AP\parallel \left( {A'MC} \right)\).
Như vậy \(\left( {AB'P} \right)\parallel \left( {A'MC} \right)\), và bài toán được chứng minh.
c) Xét ba mặt phẳng song song \(\left( {A'B'C'} \right)\), \(\left( \alpha \right)\), \(\left( {ABC} \right)\), ta có đường thẳng \(B'A\) cắt ba mặt phẳng lần lượt tại \(B'\), \(K\), \(A\). Hơn nữa, đường thẳng \(A'C\) cũng cắt ba mặt phẳng trên lần lượt tại \(A'\), \(L\), \(C\). Do đó, theo định lí Thales trong không gian, ta có: \(\frac{{B'K}}{{A'L}} = \frac{{KA}}{{LC}} = \frac{{AB'}}{{CA'}} \Rightarrow \frac{{LA'}}{{LC}} = \frac{{B'K}}{{KA}}\).
Gọi \(O\) là trung điểm của \(A'B\). Vì \(K\) là trọng tâm tam giác \(\left( {A'B'B} \right)\) nên ta có \(\frac{{B'K}}{{B'O}} = \frac{2}{3}\). Mà \(\frac{{B'O}}{{AB'}} = \frac{1}{2}\) nên \(\frac{{B'K}}{{AB'}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{B'K}}{{KA}} = \frac{1}{2}\). Từ đó \(\frac{{LA'}}{{LC}} = \frac{1}{2}\).
Bài 43 trang 113 sách bài tập Toán 11 Cánh Diều thuộc chương trình học về phép biến hình. Bài tập này thường tập trung vào việc xác định các phép biến hình, tìm ảnh của điểm, đường thẳng qua phép biến hình, và chứng minh các tính chất liên quan.
Bài 43 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải các bài tập trong bài 43, bạn cần nắm vững các kiến thức sau:
Khi giải bài tập, bạn nên:
Bài tập: Cho điểm A(1; 2) và phép tịnh tiến theo vectơ v = (3; -1). Tìm tọa độ điểm A' là ảnh của A qua phép tịnh tiến.
Giải:
Công thức phép tịnh tiến: A'(x' ; y') = A(x; y) + v(a; b) = (x + a; y + b)
Áp dụng công thức vào bài toán:
A'(x' ; y') = A(1; 2) + v(3; -1) = (1 + 3; 2 - 1) = (4; 1)
Vậy tọa độ điểm A' là (4; 1).
Để học tốt môn Toán 11 và giải bài tập hiệu quả, bạn nên:
toan9.edu.vn hy vọng rằng với hướng dẫn chi tiết này, bạn sẽ tự tin giải bài 43 trang 113 sách bài tập Toán 11 Cánh Diều và đạt kết quả tốt trong học tập. Chúc bạn thành công!
Để củng cố kiến thức, bạn có thể tham khảo thêm các bài tập tương tự trong sách bài tập Toán 11 Cánh Diều và các nguồn tài liệu trực tuyến khác.
Phép biến hình đóng vai trò quan trọng trong hình học, giúp chúng ta hiểu rõ hơn về các tính chất của hình và mối quan hệ giữa các hình. Việc nắm vững kiến thức về phép biến hình không chỉ giúp bạn giải bài tập mà còn là nền tảng cho việc học các môn học khác liên quan đến hình học.
Phép biến hình có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như trong thiết kế đồ họa, xây dựng, và các lĩnh vực khoa học kỹ thuật khác. Việc hiểu rõ về phép biến hình giúp chúng ta giải quyết các bài toán thực tế một cách hiệu quả.
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
