Chào mừng bạn đến với toan9.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho bài 5 trang 45 sách bài tập Toán 11 chương trình Cánh Diều. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức, hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những giải pháp học tập hiệu quả nhất, giúp bạn học toán một cách dễ dàng và thú vị.
Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định như sau, dãy số giảm là:
Đề bài
Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định như sau, dãy số giảm là:
A. \({u_n} = \frac{{3n - 1}}{{n + 1}}\)
B. \({u_n} = {n^3}\)
C. \({u_n} = \frac{1}{{{3^{n + 1}}}}\)
D. \({u_n} = \sqrt n \)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng các cách xác định dãy số tăng hay giảm: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).
Cách 1: Xét hiệu \(H = {u_{n + 1}} - {u_n}\). Khi đó, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) giảm khi \(H < 0\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Cách 2: Nếu \({u_n} > 0\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), xét thương \(T = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\). Khi đó, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) giảm khi \(T < 1\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Lời giải chi tiết
a) Xét hiệu:
\(H = {u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{3\left( {n + 1} \right) - 1}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} - \frac{{3n - 1}}{{n + 1}} = \frac{{3n + 2}}{{n + 2}} - \frac{{3n - 1}}{{n + 1}} = \frac{{\left( {3n + 2} \right)\left( {n + 1} \right) - \left( {3n - 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\)
\( = \frac{{\left( {3{n^2} + 5n + 2} \right) - \left( {3{n^2} + 5n - 2} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \frac{4}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Do đó dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{3n - 1}}{{n + 1}}\) không là dãy số giảm.
b) Xét hiệu:
\(H = {u_{n + 1}} - {u_n} = {\left( {n + 1} \right)^3} - {n^3} = {n^3} + 3{n^2} + 3n + 1 - {n^3} = 3{n^2} + 3n + 1\).
Do \(3{n^2} + 3n + 1 > 0\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {n^3}\) không là dãy số giảm.
c) Ta nhận thấy \({u_n} = \frac{1}{{{3^{n + 1}}}} > 0\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Xét thương \(T = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{1}{{{3^{\left( {n + 1} \right) + 1}}}}:\frac{1}{{{3^{n + 1}}}} = \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{3^{n + 2}}}} = \frac{1}{3}\)
Do \(T = \frac{1}{3} < 1\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{1}{{{3^{n + 1}}}}\) là dãy số giảm.
d) Ta nhận thấy \({u_n} = \sqrt n > 0\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Xét thương \(T = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{\sqrt {n + 1} }}{{\sqrt n }} = \sqrt {\frac{{n + 1}}{n}} = \sqrt {1 + \frac{1}{n}} \)
Do \(T = \sqrt {1 + \frac{1}{n}} > \sqrt 1 = 11\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{1}{{{3^{n + 1}}}}\) không là dãy số giảm.
Đáp án đúng là C.
Bài 5 trang 45 sách bài tập Toán 11 Cánh Diều thuộc chương trình học về hàm số lượng giác. Bài tập này tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về đồ thị hàm số lượng giác, đặc biệt là hàm cosin, để giải quyết các bài toán thực tế.
Bài 5 yêu cầu học sinh thực hiện các nhiệm vụ sau:
Câu a: Vẽ đồ thị hàm số y = cos(x) và y = cos(x + π/2)
Để vẽ đồ thị hàm số y = cos(x), ta xác định các điểm đặc biệt trên đồ thị, chẳng hạn như:
Nối các điểm này lại với nhau, ta được đồ thị hàm số y = cos(x).
Tương tự, để vẽ đồ thị hàm số y = cos(x + π/2), ta thực hiện phép tịnh tiến đồ thị hàm số y = cos(x) sang trái một khoảng π/2 đơn vị. Điều này có nghĩa là mỗi điểm trên đồ thị y = cos(x) sẽ được dịch chuyển sang trái một khoảng π/2 đơn vị để tạo thành đồ thị y = cos(x + π/2).
Câu b: Nhận xét về mối quan hệ giữa hai đồ thị
Quan sát hai đồ thị, ta thấy rằng đồ thị hàm số y = cos(x + π/2) là đồ thị hàm số y = cos(x) dịch chuyển sang trái một khoảng π/2 đơn vị. Nói cách khác, đồ thị hàm số y = cos(x + π/2) là đồ thị hàm số y = cos(x) sau khi thực hiện phép tịnh tiến theo vector (-π/2, 0).
Mối quan hệ này có thể được biểu diễn bằng công thức: cos(x + π/2) = -sin(x).
Câu c: Sử dụng đồ thị để giải các phương trình lượng giác cơ bản
Đồ thị hàm số có thể được sử dụng để giải các phương trình lượng giác cơ bản, chẳng hạn như phương trình cos(x) = a (với -1 ≤ a ≤ 1). Để giải phương trình này, ta vẽ đường thẳng y = a trên cùng một hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số y = cos(x). Giao điểm của đường thẳng và đồ thị sẽ cho ta các nghiệm của phương trình.
Câu d: Áp dụng kiến thức đã học để giải các bài toán liên quan đến thực tế
Các bài toán liên quan đến thực tế thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số lượng giác để mô tả các hiện tượng vật lý, chẳng hạn như dao động điều hòa. Ví dụ, ta có thể sử dụng hàm cosin để mô tả vị trí của một vật dao động điều hòa theo thời gian.
Bài 5 trang 45 sách bài tập Toán 11 Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về hàm số lượng giác và rèn luyện kỹ năng giải toán. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, bạn sẽ tự tin giải quyết bài tập một cách hiệu quả.
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
