Chào mừng bạn đến với toan9.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho bài 54 trang 57 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức, hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những giải pháp học tập hiệu quả nhất, giúp bạn học toán một cách dễ dàng và thú vị.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_n} = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right]\)
Đề bài
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_n} = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right]\)
a) Viết sáu số hạng đầu của dãy số.
b) Chứng minh rằng \({u_{n + 6}} = {u_n}\) với mọi \(n \ge 1\)
c) Tính tổng 27 số hạng đầu của dãy số.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Thay \(n = 1\),\(n = 2\), \(n = 3\), \(n = 4\), \(n = 5\), \(n = 6\) vào biểu thức \({u_n} = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right]\) để tính \({u_1},{u_2},{u_3},{u_4},{u_5},{u_6}\).
b) Thay \(n\) bởi \(n + 6\) vào biểu thức \({u_n} = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right]\) và chú ý rằng \(\cos \left( {x + k2\pi } \right) = \cos x\).
c) Sử dụng kết quả câu b.
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
\({u_1} = \cos \left[ {\left( {2.1 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left( {3\frac{\pi }{6}} \right) = \cos \frac{\pi }{2} = 0\)
\({u_2} = \cos \left[ {\left( {2.2 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left( {5\frac{\pi }{6}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
\({u_3} = \cos \left[ {\left( {2.3 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left( {7\frac{\pi }{6}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
\({u_4} = \cos \left[ {\left( {2.4 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left( {9\frac{\pi }{6}} \right) = \cos \frac{{3\pi }}{2} = 0\)
\({u_5} = \cos \left[ {\left( {2.5 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left( {11\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
\({u_6} = \cos \left[ {\left( {2.6 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left( {13\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Vậy sáu số hạng đầu của dãy số là \(0, - \frac{{\sqrt 3 }}{2}, - \frac{{\sqrt 3 }}{2},0,\frac{{\sqrt 3 }}{2},\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
b) Ta có:
\({u_{n + 6}} = \cos \left[ {\left( {2\left( {n + 6} \right) + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6} + 12\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6} + 2\pi } \right]\)
\( = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = {u_n}\)
Bài toán được chứng minh.
c) Theo câu b, ta có \({u_{n + 6}} = {u_n}\), nên vì vậy ta có:
\({u_1} = {u_7} = {u_{13}} = {u_{19}} = {u_{25}}\),
\({u_2} = {u_8} = {u_{14}} = {u_{20}} = {u_{26}}\),
\({u_3} = {u_9} = {u_{15}} = {u_{21}} = {u_{27}}\),
\({u_4} = {u_{10}} = {u_{16}} = {u_{22}}\),
\({u_5} = {u_{11}} = {u_{17}} = {u_{23}}\),
\({u_6} = {u_{12}} = {u_{18}} = {u_{24}}\).
Do đó, \({S_{27}} = 4\left( {{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} + {u_6}} \right) + {u_1} + {u_2} + {u_3}\)
\( = 4\left( {0 + \frac{{ - \sqrt 3 }}{2} + \frac{{ - \sqrt 3 }}{2} + 0 + \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 0} \right) + 0 + \frac{{ - \sqrt 3 }}{2} + \frac{{ - \sqrt 3 }}{2} = - \sqrt 3 \)
Bài 54 trang 57 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian để giải quyết các bài toán thực tế. Bài tập này đòi hỏi học sinh phải nắm vững các định lý, tính chất và phương pháp chứng minh trong hình học không gian.
Bài 54 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải quyết bài 54 trang 57 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều một cách hiệu quả, bạn có thể áp dụng các phương pháp sau:
Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng phần của bài 54 trang 57 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều:
(a) Phần 1: [Giải thích chi tiết từng bước giải, bao gồm các công thức và định lý được sử dụng. Ví dụ: Để xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P), ta tìm giao điểm của d và (P). Nếu d và (P) có giao điểm, thì d cắt (P). Nếu d song song với (P), thì d và (P) không có giao điểm.]
(b) Phần 2: [Giải thích chi tiết từng bước giải, bao gồm các công thức và định lý được sử dụng. Ví dụ: Để tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P), ta tính góc giữa d và hình chiếu của d trên (P).]
(c) Phần 3: [Giải thích chi tiết từng bước giải, bao gồm các công thức và định lý được sử dụng. Ví dụ: Để tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P), ta sử dụng công thức: d(A, (P)) = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A² + B² + C²), trong đó (x0, y0, z0) là tọa độ của điểm A và Ax + By + Cz + D = 0 là phương trình của mặt phẳng (P).]
Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t và mặt phẳng (P): 2x - y + z - 5 = 0. Xác định vị trí tương đối giữa d và (P).
Giải: Thay phương trình tham số của d vào phương trình của (P), ta được: 2(1 + t) - (2 - t) + (3 + 2t) - 5 = 0 ⇔ 2 + 2t - 2 + t + 3 + 2t - 5 = 0 ⇔ 5t - 2 = 0 ⇔ t = 2/5. Vì phương trình có nghiệm duy nhất, nên d cắt (P).
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, bạn có thể luyện tập thêm các bài tập sau:
Toan9.edu.vn hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải quyết bài 54 trang 57 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều một cách hiệu quả. Chúc bạn học tập tốt!
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
