Bài 2. Biến cố hợp và biến cố giao. Biến cố độc lập. Các quy tắc tính xác suất

Bài 2. Biến cố hợp và biến cố giao. Biến cố độc lập. Các quy tắc tính xác suất - SBT Toán 11 - Cánh diều

Trong chương trình Toán 11, phần xác suất thống kê đóng vai trò quan trọng trong việc giúp học sinh làm quen với việc phân tích và dự đoán các sự kiện ngẫu nhiên. Bài 2 trong sách bài tập Toán 11 Cánh diều tập trung vào các khái niệm cơ bản như biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập và các quy tắc tính xác suất. Việc nắm vững những kiến thức này là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong tương lai.

1. Biến cố hợp và biến cố giao

Biến cố hợp (A ∪ B): Là biến cố xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra. Nói cách khác, A ∪ B xảy ra nếu A xảy ra, B xảy ra, hoặc cả A và B đều xảy ra.

Biến cố giao (A ∩ B): Là biến cố xảy ra khi cả hai biến cố A và B đều xảy ra. A ∩ B chỉ xảy ra khi cả A và B đồng thời xuất hiện.

Công thức tính xác suất:

• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

2. Biến cố độc lập

Biến cố độc lập: Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra của biến cố A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố B, và ngược lại.

Điều kiện để hai biến cố A và B độc lập:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

3. Các quy tắc tính xác suất

Quy tắc cộng xác suất: Áp dụng cho các biến cố xung khắc (không thể xảy ra đồng thời) và biến cố không xung khắc.

• Nếu A và B xung khắc: P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
• Nếu A và B không xung khắc: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Quy tắc nhân xác suất:

• P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) (với P(B|A) là xác suất của B khi A đã xảy ra)
• Nếu A và B độc lập: P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Gieo một con xúc xắc 6 mặt. Tính xác suất để xuất hiện mặt 2 hoặc mặt 5.

Giải:

• A: Xuất hiện mặt 2
• B: Xuất hiện mặt 5
• A và B là các biến cố xung khắc.
• P(A) = 1/6
• P(B) = 1/6
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 1/6 + 1/6 = 1/3

Ví dụ 2: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đỏ.

Giải:

• A: Quả bóng thứ nhất màu đỏ
• B: Quả bóng thứ hai màu đỏ
• P(A) = 5/8
• P(B|A) = 4/7 (vì sau khi lấy 1 quả đỏ, còn lại 4 quả đỏ và 7 quả bóng tổng cộng)
• P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) = (5/8) * (4/7) = 5/14

5. Bài tập áp dụng

Để củng cố kiến thức, bạn có thể tự giải các bài tập sau:

• Bài 1: Một túi chứa 4 quả bóng trắng, 3 quả bóng đen. Lấy ngẫu nhiên 2 quả. Tính xác suất để lấy được 1 quả trắng và 1 quả đen.
• Bài 2: Gieo hai con xúc xắc. Tính xác suất để tổng số chấm trên hai con xúc xắc bằng 7.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập và các quy tắc tính xác suất. Chúc bạn học tốt!