Chào mừng bạn đến với toan9.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho bài 44 trang 113 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức, hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những giải pháp học tập hiệu quả nhất, giúp bạn học toán một cách dễ dàng và thú vị.
Chứng minh rằng trong một hình hộp, tổng bình phương của bốn đường chéo bằng tổng bình phương của tất cả các cạnh.
Đề bài
Chứng minh rằng trong một hình hộp, tổng bình phương của bốn đường chéo bằng tổng bình phương của tất cả các cạnh.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Trước hết, cần chứng minh kết quả phụ: Trong một hình bình hành, tổng bình phương của hai đường chéo bằng tổng bình phương tất cả các cạnh của hình bình hành. Áp dụng kết quả này vào hình hộp.
Lời giải chi tiết
Trước hết, ta sẽ chứng minh kết quả phụ: Trong một hình bình hành, tổng bình phương của hai đường chéo bằng tổng bình phương tất cả các cạnh của hình bình hành. Xét hình bình hành \(MNPQ\) như hình dưới đây. Ta cần chứng minh rằng \(M{P^2} + N{Q^2} = M{N^2} + N{P^2} + P{Q^2} + Q{M^2}\)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(MPQ\) và \(NPQ\), ta có:
\(M{P^2} = Q{M^2} + Q{P^2} - 2QM.QP.\cos MQP\)
\(Q{N^2} = P{Q^2} + P{N^2} - 2PN.PQ.\cos QPN\).
Do \(QM = PN\) và \(\cos MQP = - \cos QPN\) (do \(\widehat {MQP}\) và \(\widehat {QPN}\) bù nhau), nên ta có
\(M{P^2} + N{Q^2} = M{Q^2} + 2P{Q^2} + P{N^2} - 2QM.QP\cos MQP + 2QM.QP\cos MQP\)
\( \Rightarrow M{P^2} + N{Q^2} = 2\left( {M{N^2} + N{P^2}} \right)\).
Ta có điều phải chứng minh.
Quay trở lại bài toán, ta xét hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\).
Áp dụng kết quả vừa chứng minh được ở trên với hai hình bình hành \(ACC'A'\), \(DBB'D'\) và \(A'B'C'D'\) ta có:
\(AC{'^2} + A'{C^2} = 2\left( {AA{'^2} + A'C{'^2}} \right)\) ; \(B'{D^2} + BD{'^2} = 2\left( {BB{'^2} + B'D{'^2}} \right)\);
\(A'C{'^2} + B'D{'^2} = 2\left( {A'B{'^2} + A'D{'^2}} \right)\).
Như vậy
\(AC{'^2} + A'{C^2} + BD{'^2} + B'{D^2} = 2\left( {AA{'^2} + A'C{'^2} + BB{'^2} + B'D{'^2}} \right)\)
\( = 4AA{'^2} + 2\left( {A'C{'^2} + B'D{'^2}} \right) = 4AA{'^2} + 4A'B{'^2} + 4A'D{'^2}\).
Do \(4AA{'^2} = AA{'^2} + BB{'^2} + CC{'^2} + DD{'^2}\), \(4A'B{'^2} = A'B{'^2} + A{B^2} + C'D{'^2} + C{D^2}\), \(4A'D{'^2} = A'D{'^2} + A{D^2} + B'C{'^2} + B{C^2}\), ta kết luận rằng trong một hình hộp, tổng bình phương tất cả các đường chéo bằng tổng tất cả các cạnh của hình hộp đó.
Bài toán được chứng minh.
Bài 44 trang 113 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian để giải các bài toán hình học không gian. Bài tập này đòi hỏi học sinh phải nắm vững các định lý, tính chất liên quan đến quan hệ song song, vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Bài 44 bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về cách giải bài 44, chúng tôi sẽ trình bày lời giải chi tiết cho từng dạng bài tập:
Để chứng minh một đường thẳng song song với một mặt phẳng, ta cần chứng minh đường thẳng đó song song với một đường thẳng nào đó nằm trong mặt phẳng đó. Hoặc, ta có thể chứng minh mặt phẳng chứa đường thẳng đó song song với mặt phẳng đã cho.
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD. Chứng minh đường thẳng AB song song với mặt phẳng (SCD).
Lời giải: Ta thấy AB song song với CD (do ABCD là hình thang). Vì CD nằm trong mặt phẳng (SCD) nên AB song song với mặt phẳng (SCD).
Để chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, ta cần chứng minh đường thẳng đó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. Hoặc, ta có thể chứng minh đường thẳng đó vuông góc với một mặt phẳng chứa các đường thẳng đó.
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Chứng minh SA vuông góc với BC.
Lời giải: Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và BC nằm trong mặt phẳng (ABCD) nên SA vuông góc với BC.
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc tạo bởi đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.
Ví dụ: Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) trong hình chóp S.ABCD, biết SA = a và AB = a.
Lời giải: Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD). Khi đó, góc giữa SA và mặt phẳng (ABCD) là góc SAH. Ta có tan(SAH) = SH/AH. Để tính được góc SAH, ta cần tính được SH và AH.
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là độ dài đoạn vuông góc hạ từ điểm đó xuống mặt phẳng.
Ví dụ: Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) trong hình chóp S.ABCD.
Lời giải: Gọi H là hình chiếu của A lên mặt phẳng (SBC). Khi đó, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là độ dài đoạn AH.
Bài 44 trang 113 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết và dễ hiểu trên, các em học sinh sẽ tự tin giải bài tập và đạt kết quả tốt.
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
