Chào mừng bạn đến với toan9.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 11. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 11 trang 69 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những giải pháp tối ưu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Từ độ cao 100 m, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử cứ sau mỗi lần chạm đất, quả bóng nảy lên một độ cao bằng (frac{1}{4}) độ cao mà quả bóng đạt được trước đó.
Đề bài
Từ độ cao 100 m, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử cứ sau mỗi lần chạm đất, quả bóng nảy lên một độ cao bằng \(\frac{1}{4}\) độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi \({h_n}\) là độ cao quả bóng đạt được ở lần nảy thứ \(n\).
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số \(\left( {{h_n}} \right)\).
b) Tính giới hạn của dãy số \(\left( {{h_n}} \right)\) và nêu ý nghĩa giới hạn của dãy số \(\left( {{h_n}} \right)\).
c) Gọi \({S_n}\) là tổng độ dài quãng đường đi được của quả bóng từ lúc bắt đầu thả quả bóng đến khi quả bóng chạm đất lần thứ \(n\). Tính \({S_n}\), nếu quá trình này cứ tiếp tục diễn ra mãi thì tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là bao nhiêu?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Theo đề bài, sau mỗi lần chạm đất, quả bóng nảy lên một độ cao bằng \(\frac{1}{4}\) độ cao mà quả bóng đạt được lần trước đó, do vậy \({h_{n + 1}} = \frac{1}{4}{h_n}\). Suy ra số hạng tổng quát của dãy là \({h_n} = \frac{{100}}{{{4^n}}}\).
b) Ta có \(\lim \frac{{100}}{{{4^n}}} = \lim 100.\lim \frac{1}{{{4^n}}} = 100.0 = 0\)
Từ đó ta rút ra ý nghĩa giới hạn của dãy \(\left( {{h_n}} \right)\).
c) Sử dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
Lời giải chi tiết
a) Theo đề bài, sau mỗi lần chạm đất, quả bóng nảy lên một độ cao bằng \(\frac{1}{4}\) độ cao mà quả bóng đạt được lần trước đó. Sau lần chạm đất thứ \(n\), độ cao của quả bóng là \({h_n}\), thì lần chạm đất tiếp theo (thứ \(n + 1\)), độ cao của quả bóng là \(\frac{1}{4}{h_n}\).
Tức là \({h_{n + 1}} = \frac{1}{4}{h_n} \Rightarrow \frac{{{h_{n + 1}}}}{{{h_n}}} = \frac{1}{4}\). Như vậy \(\left( {{h_n}} \right)\) là cấp số nhân với \({h_1} = \frac{{100}}{4} = 25\) và công bội \(q = \frac{\({h_n} = \frac{{100}}{{{4^n}}}\)1}{4}\).
Như vậy \({h_n} = {h_1}.{q^{n - 1}} = \frac{{100}}{4}.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^{n - 1}} = \frac{{100}}{{{4^n}}}\)
Vậy số hạng tổng quát của dãy là .
b) Ta có \(\lim \frac{{100}}{{{4^n}}} = \lim 100.\lim \frac{1}{{{4^n}}} = 100.0 = 0\)
Từ giới hạn này, ta rút ra được ý nghĩa: Khi \(n\) càng dần tới vô cực thì độ cao của quả bóng đạt được sau khi nảy ngày càng nhỏ và độ cao đó dần tới 0.
c) Từ lúc thả rơi đến lần chạm đất đầu tiên, qua bóng đi được 100 m.
Từ lúc chạm đất lần đầu tiên đến lúc chạm đất lần thứ hai, quả bóng nảy lên độ cao \({h_1}\) rồi rơi xuống đất. Lúc này quả bóng đi được đoạn đường là \(2{h_1}\).
Từ lúc chạm đất lần thứ hai đến lúc chạm đất lần thứ ba, quả bóng nảy lên độ cao \({h_2}\) rồi rơi xuống đất. Lúc này quả bóng đi được đoạn đường là \(2{h_2}\).
Cứ như vậy, quãng đường quả bóng đi được là:
\({S_n} = 100 + 2\left( {{h_1} + {h_2} + {h_3} + ... + {h_n}} \right)\)
Nếu quá trình bóng nảy cứ tiếp tục diễn ra mãi thì quãng đường quả bóng đi được là \(\lim {S_n} = 100 + 2\left( {{h_1} + {h_2} + {h_3} + ...} \right)\)
Ta thấy \(\left( {{h_n}} \right)\) là cấp số nhân với công bội \(q = \frac{1}{4} < 1\), nên \(\left( {{h_n}} \right)\) là cấp số nhân lùi vô hạn.
Như vậy \(\lim {S_n} = 100 + 2\left( {{h_1} + {h_2} + {h_3} + ...} \right) = 100 + 2\frac{{{h_1}}}{{1 - q}} = 100 + 2\frac{{25}}{{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{{500}}{3}\)
Vậy tổng quãng đường quả bóng di chuyển là \(\frac{{500}}{3}\) m.
Bài 11 trang 69 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều thuộc chương trình học về hàm số lượng giác. Bài tập này tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về đồ thị hàm số lượng giác, đặc biệt là hàm cosin, để giải quyết các bài toán thực tế. Việc hiểu rõ các tính chất của đồ thị hàm số lượng giác là chìa khóa để giải quyết thành công bài tập này.
Bài 11 trang 69 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải bài tập này, chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết cho từng câu hỏi trong bài 11 trang 69 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều. Chúng ta sẽ đi qua từng bước giải, từ việc phân tích đề bài, xác định các yếu tố cần thiết, đến việc áp dụng các công thức và phương pháp phù hợp.
Giả sử đề bài yêu cầu vẽ đồ thị hàm số y = 2cos(x - π/3). Chúng ta sẽ thực hiện như sau:
Giả sử đề bài yêu cầu giải phương trình 2cos(x - π/3) = 1. Chúng ta sẽ thực hiện như sau:
Để giải bài tập hàm số lượng giác một cách hiệu quả, bạn có thể áp dụng một số mẹo sau:
Bài 11 trang 69 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp bạn củng cố kiến thức về hàm số lượng giác. Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và các mẹo giải bài tập mà chúng tôi đã cung cấp, bạn sẽ tự tin hơn trong quá trình học tập và giải quyết các bài toán tương tự.
Toan9.edu.vn luôn đồng hành cùng bạn trên con đường chinh phục môn Toán. Chúc bạn học tập tốt!
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
