Bài 1. Phép tính lũy thừa với sỗ mũ thực

Bài 1. Phép tính lũy thừa với sỗ mũ thực - SBT Toán 11 - Cánh diều

I. Định nghĩa và Tính chất

Trong chương trình Toán 11, đặc biệt là trong sách giáo khoa Cánh diều, phép tính lũy thừa với số mũ thực đóng vai trò nền tảng cho việc hiểu và vận dụng các khái niệm về hàm số mũ và hàm số lôgarit. Để nắm vững kiến thức này, chúng ta cần bắt đầu với định nghĩa cơ bản.

1. Định nghĩa lũy thừa với số mũ thực

Với a là một số thực dương và α là một số thực bất kỳ, lũy thừa của a với số mũ α, ký hiệu là a^α, là một số thực duy nhất được xác định như sau:

• Nếu α là số nguyên dương, a^α = a × a × ... × a (α lần)
• Nếu α = 0, a⁰ = 1 (với a ≠ 0)
• Nếu α là số nguyên âm, a^α = 1 / a^-α
• Nếu α là phân số tối giản m/n, với m là số nguyên và n là số nguyên dương, a^α = ⁿ√a^m
• Nếu α là số thực vô tỷ, a^α được định nghĩa như giới hạn của một dãy lũy thừa với số mũ hữu tỷ tiến tới α.

2. Tính chất của lũy thừa với số mũ thực

• a^x > 0 với mọi a > 0 và mọi số thực x.
• a^x = 1 khi và chỉ khi x = 0.
• Nếu a > 1 thì hàm số f(x) = a^x đồng biến trên ℝ.
• Nếu 0 < a < 1 thì hàm số f(x) = a^x nghịch biến trên ℝ.
• a^x+y = a^x × a^y
• a^x-y = a^x / a^y
• (a^x)^y = a^xy
• (ab)^x = a^xb^x
• (a/b)^x = a^x / b^x

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính 2^3.5

Ta có 2^3.5 = 2^7/2 = √(2⁷) = √128 = 8√2 ≈ 11.31

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức (3²)^1/2 × 3^-1

(3²)^1/2 × 3^-1 = 3^2×1/2 × 3^-1 = 3¹ × 3^-1 = 3^1-1 = 3⁰ = 1

III. Bài tập áp dụng (SBT Toán 11 - Cánh diều)

Dưới đây là một số bài tập trong SBT Toán 11 - Cánh diều liên quan đến phép tính lũy thừa với số mũ thực. Các em hãy tự giải và đối chiếu với đáp án trong sách để củng cố kiến thức.

1. Tính: 5^2.3
2. Rút gọn biểu thức: (4^1/2)³ × 4^-1
3. Giải phương trình: 2^x = 8
4. Tìm x biết: 3^x+1 = 27

IV. Lưu ý khi học và giải bài tập

Khi học và giải bài tập về phép tính lũy thừa với số mũ thực, các em cần lưu ý những điều sau:

• Nắm vững định nghĩa và các tính chất của lũy thừa.
• Biết cách chuyển đổi giữa các dạng biểu diễn khác nhau của số mũ (số nguyên, phân số, số thực).
• Sử dụng máy tính bỏ túi để tính toán các lũy thừa phức tạp.
• Kiểm tra lại kết quả sau khi giải bài tập.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức hữu ích về phép tính lũy thừa với số mũ thực. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!