Chương VIII. Quan hệ vuông góc trong không gian. Phép chiếu vuông góc

Chương VIII: Quan hệ vuông góc trong không gian - SBT Toán 11 Cánh Diều

Chương VIII của sách bài tập Toán 11 Cánh Diều tập trung vào việc nghiên cứu các khái niệm và tính chất liên quan đến quan hệ vuông góc trong không gian, đặc biệt là phép chiếu vuông góc. Đây là một phần quan trọng của hình học không gian, giúp học sinh hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian ba chiều.

I. Khái niệm cơ bản về quan hệ vuông góc trong không gian

1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. Điều kiện để đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) là d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P).

2. Hai mặt phẳng vuông góc: Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 90°. Điều kiện để hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc là có một đường thẳng d vuông góc với cả hai mặt phẳng.

II. Phép chiếu vuông góc

1. Định nghĩa: Phép chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng là điểm mà từ đó kẻ được đường vuông góc đến mặt phẳng đó.

2. Tính chất:

• Phép chiếu vuông góc bảo toàn khoảng cách.
• Nếu hai điểm thuộc cùng một mặt phẳng thì phép chiếu vuông góc của chúng lên một mặt phẳng khác cũng thuộc cùng một mặt phẳng.

III. Bài tập minh họa và phương pháp giải

Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

Giải:

1. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD.
2. Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AC. Do đó, AC ⊥ (SAC).
3. Suy ra góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa SC và AO.
4. Trong tam giác SAC vuông tại A, ta có tan(∠SCA) = SA/AC = a/a√2 = 1/√2.
5. Vậy, góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là arctan(1/√2).

Bài tập 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, BC = b, AA' = c. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B').

Giải:

Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B') chính là chiều cao của hình hộp chữ nhật, tức là AA' = c.

IV. Các dạng bài tập thường gặp

• Xác định quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
• Xác định quan hệ vuông góc giữa hai mặt phẳng.
• Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
• Tính góc giữa hai mặt phẳng.
• Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

V. Lời khuyên khi học tập

Để nắm vững kiến thức về chương VIII, bạn nên:

• Nắm vững các định nghĩa và tính chất cơ bản.
• Luyện tập nhiều bài tập với các mức độ khó khác nhau.
• Sử dụng hình vẽ để minh họa và hiểu rõ hơn về các khái niệm.
• Tham khảo các tài liệu tham khảo và video bài giảng trên toan9.edu.vn.

Chúc bạn học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!