Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 1 trang 64, 65, 66, 67 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều trên toan9.edu.vn. Chúng tôi cung cấp lời giải đầy đủ, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Bài giải này được xây dựng bởi đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, đảm bảo tính chính xác và phù hợp với chương trình học.
a) Tính đạo hàm của hàm số (y = {x^2}) tại điểm ({x_0}) bất kì bằng định nghĩa
a) Tính đạo hàm của hàm số \(y = {x^2}\) tại điểm \({x_0}\) bất kì bằng định nghĩa
b) Dự đoán đạo hàm của hàm số \(y = {x^n}\) tại điểm x bất kì
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\)
Lời giải chi tiết:
a)
\(\begin{array}{l}f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^2} - x_0^2}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{e^{2.\ln x}} - {e^{2.\ln {x_0}}}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{e^{2.\ln {x_0}}}.\left( {{e^{2\ln x - 2\ln {x_0}}} - 1} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{x_0^2\left( {{e^{2.\ln x - 2\ln {x_0}}} - 1} \right)}}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{x_0^2\left( {2\ln x - 2\ln {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = 2x_0^2\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\ln \left( {\frac{x}{{{x_0}}}} \right)}}{{x - {x_0}}} = 2x_0^2\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\ln \left( {1 + \frac{x}{{{x_0}}} - 1} \right)}}{{x - {x_0}}} = 2x_0^2\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{x}{{{x_0}}} - 1}}{{x - {x_0}}} = 2x_0^2\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{{x - {x_0}}}{{{x_0}}}}}{{x - {x_0}}} = 2x_0^2\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{{x_0}}}\\ = 2x_0^2.\frac{1}{{{x_0}}} = 2x\\ \Rightarrow \left( {{x^2}} \right)' = 2x\end{array}\)b) Dự đoán đạo hàm của hàm số \(y = {x^n}\) tại điểm x bất kì: \(y' = n.{x^{n - 1}}\)
Cho hàm số \(y = {x^{22}}\)
a) Tính đạo hàm của hàm số trên tại điểm x bất kì
b) Tính đạo hàm của hàm số trên tại điểm \({x_0} = - 1\)
Phương pháp giải:
Dựa vào công thức vừa học để tính
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(f'\left( x \right) = \left( {{x^{22}}} \right)' = 22.{x^{21}}\)
b) Đạo hàm của hàm số tại điểm \({x_0} = - 1\) là: \(f'\left( { - 1} \right) = 22.{\left( { - 1} \right)^{21}} = - 22\)
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt x \) tại điểm \({x_0} = 1\) bằng định nghĩa
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^{\frac{1}{2}}} - x_0^{\frac{1}{2}}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{e^{\frac{1}{2}.\ln x}} - {e^{\frac{1}{2}.\ln {x_0}}}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{e^{\frac{1}{2}.\ln {x_0}}}.\left( {{e^{\frac{1}{2}\ln x - \frac{1}{2}\ln {x_0}}} - 1} \right)}}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{x_0^{\frac{1}{2}}\left( {{e^{\frac{1}{2}.\ln x - \frac{1}{2}\ln {x_0}}} - 1} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{x_0^{\frac{1}{2}}\left( {\frac{1}{2}\ln x - \frac{1}{2}\ln {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \frac{1}{2}x_0^{\frac{1}{2}}\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\ln \left( {\frac{x}{{{x_0}}}} \right)}}{{x - {x_0}}} = 2x_0^2\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\ln \left( {1 + \frac{x}{{{x_0}}} - 1} \right)}}{{x - {x_0}}}\\ = 2x_0^2\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{x}{{{x_0}}} - 1}}{{x - {x_0}}} = \frac{1}{2}x_0^{\frac{1}{2}}\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{{x - {x_0}}}{{{x_0}}}}}{{x - {x_0}}} = \frac{1}{2}x_0^{\frac{1}{2}}\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{{x_0}}} = \frac{1}{2}x_0^{\frac{1}{2}}.\frac{1}{{{x_0}}}\\ \Rightarrow f'\left( 1 \right) = \frac{1}{2}{.1^{\frac{1}{2}}}.1 = \frac{1}{2}\end{array}\)
Tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt x \) tại điểm \({x_0} = 9\)
Phương pháp giải:
Dựa vào công thức vừa học để làm
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = {\left( {\sqrt x } \right)'} = \frac{1}{{2\sqrt x }}\\ \Rightarrow f'\left( 9 \right) = \frac{1}{{2\sqrt 9 }} = \frac{1}{{2.3}} = \frac{1}{6}\end{array}\)
Sử dụng kiết quả \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1\), tính đạo hàm của hàm số \(y = \sin x\) tại điểm x bất kì bằng định nghĩa
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sin x - \sin {x_0}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{2\,.\,\cos x\frac{{x + {x_0}}}{2}.\sin \frac{{x - {x_0}}}{2}}}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{2.\frac{{x - {x_0}}}{2}.\cos \frac{{x + {x_0}}}{2}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \,\cos \frac{{x + {x_0}}}{2} = \cos \frac{{2{x_0}}}{2} = \cos {x_0}\end{array}\)
Suy ra, \((\sin x)' = \cos x\)
Tính đạo hàm của hàm số f(x) = sinx tại điểm \({x_0} = \frac{\pi }{2}\)
Phương pháp giải:
Dựa vào ví dụ 3 để làm bài
Lời giải chi tiết:
\(f'\left( x \right) = \cos x\)
\(f'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \cos \frac{\pi }{2} = 0\)
Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số \(y = \cos x\) tại điểm x bất kì
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\cos x - \cos {x_0}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - 2\,.\,\sin \frac{{x + {x_0}}}{2}.\sin \frac{{x - {x_0}}}{2}}}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - 2.\frac{{x - {x_0}}}{2}.\sin \frac{{x + {x_0}}}{2}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \,\left( { - \sin \frac{{x + {x_0}}}{2}} \right) = - \sin \frac{{2{x_0}}}{2} = - \sin {x_0}\\ \Rightarrow f'(x) = (\cos x)' = - \sin x\end{array}\)
Một vật dao động theo phương trình f(x) = cosx, trong đó x là thời gian tính theo giây. Tính vận tốc tức thời của vật tại thời điểm \({x_0} = 2\left( s \right)\)
Phương pháp giải:
Dựa vào công thức vừa học để tính
Lời giải chi tiết:
Vận tốc tức thời của dao động: \(f'\left( x \right) = - \sin x\)
Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm \({x_0} = 2\left( s \right)\):\(f'\left( 2 \right) = - \sin \left( 2 \right) = 0,91\left( {m/s} \right)\)
Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm sô \(y = \tan x\) tại điểm x bất kì, \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\,(k \in \mathbb{Z})\)
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm \( f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\tan x - \tan {x_0}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\tan x - \tan {x_0}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{{\sin x}}{{\cos x}} - \frac{{\sin {x_0}}}{{\cos {x_0}}}}}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{{\sin x\cos {x_0} - \sin {x_0}\cos x}}{{\cos x\cos {x_0}}}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{\cos x\cos {x_0}}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}{x_0}}}\\ \Rightarrow f'(x) = (\tan x)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x\end{array}\)
Tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \tan x\) tại điểm \({x_0} = - \frac{\pi }{6}\)
Phương pháp giải:
Dựa vào công thức vừa học để làm
Lời giải chi tiết:
\(f'\left( x \right) = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} \Rightarrow f'\left( { - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{{{{\cos }^2}\left( { - \frac{\pi }{6}} \right)}} = \frac{4}{3}\)
Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số \(y = \cot x\) tại điểm x bất kì, \(x \ne k\pi (k \in \mathbb{Z})\)
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm \( f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\cot x - \cot {x_0}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\cot x - \cot {x_0}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{{\cos x}}{{\sin x}} - \frac{{\cos {x_0}}}{{\sin {x_0}}}}}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{{\cos x\sin {x_0} - \cos {x_0}\sin x}}{{\sin x\sin {x_0}}}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} - \frac{1}{{\sin x\sin {x_0}}} = - \frac{1}{{{{\sin }^2}{x_0}}}\\ \Rightarrow f'(x) = (\cot x)' = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = \end{array}\)
Tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \cot x\) tại điểm \({x_0} = - \frac{\pi }{3}\)
Phương pháp giải:
Dựa vào công thức vừa học để làm
Lời giải chi tiết:
\(f'\left( x \right) = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} \Rightarrow f'\left( { - \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{1}{{{{\sin }^2}\left( { - \frac{\pi }{3}} \right)}} = - \frac{4}{3}\)
Sử dụng kết quả \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - 1}}{x} = 1\), tính đạo hàm của hàm số \(y = {e^x}\) tại điểm x bất kì bằng định nghĩa
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm \( f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x + {x_0}) - f(x)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{x + {x_0}}} - {e^x}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{x + {x_0}}} - {e^x}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x}({e^{{x_0}}} - 1)}}{x} = {e^x}.\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{{x_0}}} - 1}}{x} = {e^x}.1 = {e^x}\\ \Rightarrow f'(x) = {e^x}\end{array}\)
Tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {10^x}\) tại điểm \({x_0} = - 1\)
Phương pháp giải:
Dựa vào công thức vừa học để làm
Lời giải chi tiết:
\(f'\left( x \right) = {10^x}.\ln 10 \Rightarrow f'\left( { - 1} \right) = {10^{ - 1}}.\ln 10 = \frac{{\ln 10}}{{10}}\)
Sử dụng kết quả \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + x)}}{x} = 1\), tính đạo hàm của hàm số \(y = \ln x\) tại điểm x dương bất kì bằng định nghĩa
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm \( f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\ln x - \ln {x_0}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\ln \frac{x}{{{x_0}}}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{{\ln \frac{x}{{{x_0}}}}}{{\ln e}}}}{{x - {x_0}}} = \frac{1}{{\ln e}}.\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\ln \frac{x}{{{x_0}}}}}{{x - {x_0}}}\\ = \frac{1}{{\ln e}}\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\ln \left( {1 + \frac{x}{{{x_0}}} - 1} \right)}}{{x - {x_0}}} = \frac{1}{{\ln e}}\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{x}{{{x_0}}} - 1}}{{x - {x_0}}} = \frac{1}{{\ln e}}.\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{{\frac{{x - {x_0}}}{{{x_0}}}}}{{x - {x_0}}} = \frac{1}{{{x_0}\ln e}}\\ \Rightarrow \left( {\ln x} \right)' = \frac{1}{{x\ln e}} = \frac{1}{x}\end{array}\)
Tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right)= \log x\) tại điểm \({x_0} = \frac{1}{2}\)
Phương pháp giải:
Dựa vào công thức vừa học để làm
Lời giải chi tiết:
\(f'\left( x \right) = \frac{1}{{x.\ln 10}} \Rightarrow f'\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{{\frac{1}{2}.\ln 10}} = \frac{2}{{\ln 10}}\)
Mục 1 của SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều tập trung vào việc ôn tập chương trình Đại số và Giải tích, chuẩn bị cho các kiến thức mới trong giai đoạn học tập tiếp theo. Việc nắm vững các khái niệm và kỹ năng trong mục này là vô cùng quan trọng để đạt kết quả tốt trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới.
Mục 1 bao gồm các nội dung chính sau:
Để giải các bài tập trong Mục 1 một cách hiệu quả, các em cần:
Bài 1: Giải phương trình 2x2 - 5x + 2 = 0. Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta có:
x = (-b ± √(b2 - 4ac)) / 2a = (5 ± √((-5)2 - 4 * 2 * 2)) / (2 * 2) = (5 ± √9) / 4
Vậy, x1 = 2 và x2 = 1/2.
Bài 2: Xác định hệ số a, b, c của phương trình x2 - 3x + 1 = 0. Ta có a = 1, b = -3, c = 1.
Bài 3: Vẽ đồ thị hàm số y = x2 - 4x + 3. Xác định đỉnh, trục đối xứng và giao điểm với các trục tọa độ.
Đỉnh: I(2, -1). Trục đối xứng: x = 2. Giao điểm với trục Ox: (1, 0) và (3, 0). Giao điểm với trục Oy: (0, 3).
Bài 4: Giải bất phương trình x2 - 2x - 3 > 0. Phân tích đa thức thành nhân tử: (x - 3)(x + 1) > 0. Vậy, nghiệm của bất phương trình là x < -1 hoặc x > 3.
Bài 5: Giải hệ phương trình:
x + y = 5
x - y = 1
Cộng hai phương trình, ta được 2x = 6, suy ra x = 3. Thay x = 3 vào phương trình đầu tiên, ta được y = 2. Vậy, nghiệm của hệ phương trình là (3, 2).
Để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập, các em có thể tham khảo thêm các bài tập tương tự trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. Ngoài ra, các em cũng có thể tìm kiếm các bài giảng online hoặc tham gia các khóa học luyện thi để được hướng dẫn chi tiết và giải đáp thắc mắc.
| Công thức | Mô tả |
|---|---|
| x = (-b ± √(b2 - 4ac)) / 2a | Công thức nghiệm của phương trình bậc hai |
| Δ = b2 - 4ac | Biệt thức của phương trình bậc hai |
Hy vọng bài giải chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về Mục 1 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều và tự tin giải các bài tập liên quan. Chúc các em học tập tốt!
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
