Bài 5 trang 106 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng trong chương trình học giải tích tích phân. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về nguyên hàm để tính tích phân bất định và tích phân xác định.
Tại toan9.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 5 trang 106 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Với giả thiết ở Bài tập 4, hãy:
Đề bài
Với giả thiết ở Bài tập 4, hãy:
a) Chứng minh rằng \(BC\parallel \left( {SAD} \right)\) và tính khoảng cách giữa \(BC\) và mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\).
b) Chứng minh rằng \(BD \bot \left( {SAC} \right)\) và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BD\) và \(SC\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Cách chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng: Chứng minh đường thẳng đó song song với một đường thẳng nằm trên mặt phẳng.
‒ Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Tính khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng đến mặt phẳng.
‒ Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trên mặt phẳng.
‒ Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Cách 1: Dựng đường vuông góc chung.
Cách 2: Tính khoảng cách từ đường thẳng này đến một mặt phẳng song song với đường thẳng đó và chứa đường thẳng còn lại.
Lời giải chi tiết
a) \(ABCD\) là hình vuông \( \Rightarrow BC\parallel A{\rm{D}}\)
Mà \(A{\rm{D}} \subset \left( {SA{\rm{D}}} \right)\)
\( \Rightarrow BC\parallel \left( {SAD} \right) \Rightarrow d\left( {BC,\left( {SAD} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {SAD} \right)} \right)\)
\(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AB\)
\(ABCD\) là hình vuông \( \Rightarrow AB \bot A{\rm{D}}\)
\( \Rightarrow AB \bot \left( {SA{\rm{D}}} \right) \Rightarrow d\left( {B,\left( {SA{\rm{D}}} \right)} \right) = AB = a\)
Vậy \(d\left( {BC,\left( {SAD} \right)} \right) = a\).
b) \(ABCD\) là hình vuông \( \Rightarrow B{\rm{D}} \bot A{\rm{C}}\)
\(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot B{\rm{D}}\)
\( \Rightarrow B{\rm{D}} \bot \left( {SAC} \right)\)
Gọi \(O = AC \cap B{\rm{D}}\), kẻ \(OH \bot SC\left( {H \in SC} \right)\)
\(B{\rm{D}} \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow B{\rm{D}} \bot OH\)
\( \Rightarrow d\left( {B{\rm{D}},SC} \right) = OH\)
\(\Delta ABC\) vuông tại \(B\)\( \Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt 2 \Rightarrow OC = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
\(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AC \Rightarrow \Delta SAC\) vuông tại \(A\)\( \Rightarrow SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = a\sqrt 3 \)
\(\Delta SAC \backsim \Delta OHC\,(g.g) \Rightarrow \frac{{SA}}{{OH}} = \frac{{SC}}{{OC}} \Rightarrow OH = \frac{{SA.OC}}{{SC}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\)
Vậy \(d\left( {B{\rm{D}},SC} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\).
Bài 5 trang 106 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều thuộc chương trình học về tích phân, một trong những chủ đề quan trọng của giải tích. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản về nguyên hàm, tích phân bất định và tích phân xác định.
Bài tập yêu cầu tính các tích phân sau:
a) ∫(2x + 1) dx
b) ∫(3x2 - 2x + 5) dx
c) ∫(sin x + cos x) dx
d) ∫(ex + 1/x) dx
a) ∫(2x + 1) dx
Áp dụng công thức ∫xn dx = (xn+1)/(n+1) + C và ∫k dx = kx + C, ta có:
∫(2x + 1) dx = 2∫x dx + ∫1 dx = 2(x2/2) + x + C = x2 + x + C
b) ∫(3x2 - 2x + 5) dx
Áp dụng các công thức tương tự, ta có:
∫(3x2 - 2x + 5) dx = 3∫x2 dx - 2∫x dx + 5∫1 dx = 3(x3/3) - 2(x2/2) + 5x + C = x3 - x2 + 5x + C
c) ∫(sin x + cos x) dx
Sử dụng các công thức ∫sin x dx = -cos x + C và ∫cos x dx = sin x + C, ta có:
∫(sin x + cos x) dx = ∫sin x dx + ∫cos x dx = -cos x + sin x + C
d) ∫(ex + 1/x) dx
Áp dụng công thức ∫ex dx = ex + C và ∫1/x dx = ln|x| + C, ta có:
∫(ex + 1/x) dx = ∫ex dx + ∫1/x dx = ex + ln|x| + C
Khi tính tích phân bất định, luôn nhớ thêm hằng số tích phân C. Hằng số này biểu thị sự không xác định của nguyên hàm, vì đạo hàm của một hằng số luôn bằng 0.
Để củng cố kiến thức, bạn có thể thử giải các bài tập sau:
Tính ∫(4x3 - 3x2 + 2x - 1) dx
Tính ∫(cos 2x + sin 3x) dx
Tính ∫(1/(x+1)) dx
Tích phân có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
Tính diện tích hình phẳng
Tính thể tích vật thể
Tính độ dài đường cong
Giải các bài toán vật lý
Việc nắm vững kiến thức về tích phân là rất quan trọng để học tốt môn Toán và ứng dụng vào các lĩnh vực khác.
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn trên, bạn đã hiểu rõ cách giải Bài 5 trang 106 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều. Chúc bạn học tập tốt!
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
