Bài 1. Dãy số

Bài 1. Dãy số - SGK Toán 11 - Cánh diều: Tổng quan và hướng dẫn chi tiết

Bài 1. Dãy số trong SGK Toán 11 tập 1, sách Cánh diều, là một bước khởi đầu quan trọng trong việc nghiên cứu về dãy số, một khái niệm nền tảng trong toán học. Bài học này giới thiệu các khái niệm cơ bản về dãy số, cách xác định dãy số, và các loại dãy số thường gặp.

1. Khái niệm dãy số

Một dãy số là một hàm số u được xác định trên tập hợp các số tự nhiên khác 0 (hoặc một tập con của nó), tức là với mỗi số tự nhiên n, ta xác định một số thực u_n. Ký hiệu: (u_n) hoặc {u_n}.

u_n được gọi là số hạng thứ n của dãy số.

2. Cách xác định dãy số

Có hai cách chính để xác định một dãy số:

• Bằng công thức tổng quát:u_n = f(n), trong đó f(n) là một biểu thức chứa biến n.
• Bằng phương pháp quy nạp: Xác định số hạng đầu tiên u₁ và công thức liên hệ giữa các số hạng liên tiếp: u_n+1 = g(u_n).

3. Các loại dãy số thường gặp

a. Dãy số hữu hạn và dãy số vô hạn

Một dãy số được gọi là hữu hạn nếu nó chỉ có một số hữu hạn các số hạng. Ngược lại, dãy số được gọi là vô hạn nếu nó có vô số các số hạng.

b. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số không đổi

• Dãy số tăng:u_n+1 > u_n với mọi n.
• Dãy số giảm:u_n+1 < u_n với mọi n.
• Dãy số không đổi:u_n+1 = u_n với mọi n.

c. Dãy số bị chặn

Một dãy số được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho u_n ≤ M với mọi n.

Một dãy số được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho u_n ≥ m với mọi n.

Một dãy số được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho dãy số (u_n) với u_n = 2n + 1. Đây là một dãy số vô hạn và tăng.

Ví dụ 2: Cho dãy số (v_n) với v₁ = 1 và v_n+1 = v_n + 2. Đây là một dãy số vô hạn và tăng.

5. Bài tập áp dụng

Hãy xác định xem các dãy số sau có phải là dãy số tăng, dãy số giảm hay dãy số không đổi không?

1. a_n = 5 - n
2. b_n = 3ⁿ
3. c_n = (-1)ⁿ

Bài 1. Dãy số là nền tảng cho việc hiểu các khái niệm phức tạp hơn như cấp số cộng, cấp số nhân, giới hạn của dãy số và các ứng dụng của dãy số trong thực tế. Việc nắm vững kiến thức về dãy số sẽ giúp các em giải quyết các bài toán toán học một cách hiệu quả và chính xác.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và hữu ích về Bài 1. Dãy số - SGK Toán 11 - Cánh diều. Chúc các em học tập tốt!