Bài 3. Cấp số nhân

Bài 3. Cấp số nhân - SGK Toán 11 - Cánh diều: Tổng quan

Cấp số nhân là một dãy số đặc biệt, trong đó mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách nhân số hạng trước đó với một số không đổi gọi là công bội. Bài học này sẽ đi sâu vào các khía cạnh khác nhau của cấp số nhân, từ định nghĩa cơ bản đến các ứng dụng thực tế.

1. Định nghĩa cấp số nhân

Một dãy số (u_n) được gọi là cấp số nhân nếu có một số thực q ≠ 0 sao cho u_n+1 = q.u_n với mọi n ≥ 1. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

2. Các tính chất của cấp số nhân

• Nếu u₁ = a và q là công bội thì số hạng tổng quát của cấp số nhân là u_n = a.q^n-1.
• Nếu u_n = 0 với một n nào đó thì u_k = 0 với mọi k ≥ n.

3. Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân

Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (u₁, u₂, ..., u_n) được tính theo công thức:

S_n = u₁.(1 - qⁿ) / (1 - q) (với q ≠ 1)

Nếu q = 1 thì S_n = n.u₁

4. Các dạng bài tập thường gặp

a. Xác định cấp số nhân

Để xác định một dãy số có phải là cấp số nhân hay không, ta cần kiểm tra xem tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp có là một hằng số khác 0 hay không.

b. Tìm số hạng tổng quát và công bội

Sử dụng công thức u_n = a.q^n-1 để tìm số hạng tổng quát và từ đó suy ra công bội q.

c. Tính tổng của n số hạng đầu tiên

Áp dụng công thức tính tổng S_n để tìm tổng của n số hạng đầu tiên.

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 2 và công bội q = 3. Tính số hạng thứ 5 và tổng của 5 số hạng đầu tiên.

Giải:

• Số hạng thứ 5: u₅ = u₁.q⁴ = 2.3⁴ = 162
• Tổng của 5 số hạng đầu tiên: S₅ = u₁.(1 - q⁵) / (1 - q) = 2.(1 - 3⁵) / (1 - 3) = 2.(1 - 243) / (-2) = 242

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân (u_n) có u₂ = 6 và u₅ = 48. Tìm u₁ và q.

Giải:

Ta có: u₅ = u₂.q³ => 48 = 6.q³ => q³ = 8 => q = 2

u₂ = u₁.q => 6 = u₁.2 => u₁ = 3

6. Luyện tập

Để củng cố kiến thức, bạn hãy tự giải các bài tập trong SGK Toán 11 tập 1, Cánh diều, Bài 3. Cấp số nhân. Chú trọng vào việc hiểu rõ định nghĩa, tính chất và công thức để áp dụng linh hoạt vào các bài toán khác nhau.

7. Kết luận

Bài học về cấp số nhân là nền tảng quan trọng cho việc học tập các kiến thức toán học nâng cao hơn. Hy vọng rằng, thông qua bài học này, bạn đã nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến cấp số nhân.