Bài 1 Trang 75 Sgk Toán 11 Tập 2 - Cánh Diều | Giải Toán Online Tại Toan9.edu.vn

Bài 1 trang 75 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều

Bài 1 trang 75 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều: Giải tích chi tiết

Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết Bài 1 trang 75 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều. Bài học này thuộc chương trình Giải tích, tập trung vào việc ôn tập về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.

toan9.edu.vn cung cấp lời giải dễ hiểu, kèm theo các ví dụ minh họa giúp các em nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.

Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:

Đề bài

Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:

a) \(y = \frac{1}{{2x + 3}}\).

b) \(y = {\log _3}x\).

c) \(y = {2^x}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết Bài 1 trang 75 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều 1

Dựa vào định nghĩa đạo hàm của hàm số để tính.

Lời giải chi tiết

\(y' = \left( {\frac{1}{{2x - 3}}} \right)' = \frac{{1'\left( {2x + 3} \right) - 1\left( {2x + 3} \right)'}}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}} = - \frac{2}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}}\).

\(y'' = \left[ { - \frac{2}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}}} \right]' = - \frac{{2'{{\left( {2x - 3} \right)}^2} - 2\left[ {{{\left( {2x - 3} \right)}^2}} \right]'}}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^4}}}\)

\( = - \frac{{ - 2.2\left( {2x - 3} \right)'\left( {2x - 3} \right)}}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^4}}} = \frac{{8\left( {2x - 3} \right)}}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^4}}} = \frac{8}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^3}}}\).

\(y' = \left( {{{\log }_3}x} \right)' = \frac{1}{{x\ln 3}}\).

\( y'' = \left( {\frac{1}{{x\ln 3}}} \right)' = - \frac{{\left( {x\ln 3} \right)'}}{{{{\left( {x\ln 3} \right)}^2}}} \)

\(= - \frac{{\ln 3}}{{{{\left( {x\ln 3} \right)}^2}}} = - \frac{{\ln 3}}{{{{\left( {x\ln 3} \right)}^2}}} = - \frac{1}{{x.\ln 3}}\).

\(y' = \left( {{2^x}} \right)' = {2^x}.\ln 2\).

\( y'' = \left( {{2^x}.\ln 2} \right)' = {2^x}.\ln 2.\ln 2 = {2^x}.{\left( {\ln 2} \right)^2}\).

Tự tin bứt phá Toán lớp 11 – nền tảng vững chắc mở lối vào giảng đường đại học! Khám phá ngay Bài 1 trang 75 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều, nội dung chiến lược thuộc chuyên mục toán lớp 11 trên nền tảng soạn toán. Bộ bài tập toán trung học phổ thông được biên soạn công phu, bám sát chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng, giúp học sinh hệ thống hóa kiến thức nâng cao, rèn luyện kỹ năng tư duy và giải toán hiệu quả. Với phương pháp tiếp cận trực quan, logic và mang tính ứng dụng thực tế cao, tài liệu này sẽ là người bạn đồng hành lý tưởng trên hành trình ôn luyện chuyên sâu. Đây chính là bước đệm quan trọng giúp các em phát triển toàn diện năng lực học tập và chinh phục mục tiêu học thuật dài hạn.

Bài 1 trang 75 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 1 trang 75 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán liên quan đến việc tìm đạo hàm của hàm số, xét tính đơn điệu của hàm số và tìm cực trị. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm và công thức đạo hàm cơ bản.

Nội dung bài tập Bài 1 trang 75 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều

Bài tập này thường bao gồm các dạng câu hỏi sau:

Tìm đạo hàm của hàm số cho trước.
Xác định khoảng đơn điệu của hàm số dựa trên dấu của đạo hàm.
Tìm cực đại, cực tiểu của hàm số bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0 và xét dấu đạo hàm.
Khảo sát hàm số bằng cách xác định các điểm cực trị, khoảng đơn điệu và giới hạn của hàm số.

Hướng dẫn giải chi tiết Bài 1 trang 75 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều

Để giải quyết bài tập này, chúng ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số f'(x). Sử dụng các quy tắc đạo hàm cơ bản như đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và đạo hàm của hàm hợp.
Bước 2: Tìm các điểm tới hạn của hàm số bằng cách giải phương trình f'(x) = 0. Các nghiệm của phương trình này là các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 3: Xét dấu của đạo hàm f'(x) trên các khoảng xác định của hàm số. Nếu f'(x) > 0 trên một khoảng, hàm số đồng biến trên khoảng đó. Nếu f'(x) < 0 trên một khoảng, hàm số nghịch biến trên khoảng đó.
Bước 4: Xác định các điểm cực trị của hàm số. Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm tại một điểm x0, thì x0 là điểm cực đại của hàm số. Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương tại một điểm x0, thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số.
Bước 5: Khảo sát hàm số bằng cách vẽ đồ thị hàm số, xác định các điểm cực trị, khoảng đơn điệu và giới hạn của hàm số.

Ví dụ minh họa Bài 1 trang 75 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều

Ví dụ: Xét hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2. Hãy tìm đạo hàm, khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số.

Giải:

Đạo hàm: f'(x) = 3x² - 6x
Điểm tới hạn: Giải phương trình f'(x) = 0, ta được 3x² - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
Khoảng đơn điệu: Xét dấu của f'(x) trên các khoảng (-∞, 0), (0, 2) và (2, +∞). Ta thấy f'(x) > 0 trên (-∞, 0) và (2, +∞), do đó hàm số đồng biến trên các khoảng này. f'(x) < 0 trên (0, 2), do đó hàm số nghịch biến trên khoảng này.
Cực trị: Tại x = 0, f'(x) đổi dấu từ dương sang âm, do đó x = 0 là điểm cực đại của hàm số. Tại x = 2, f'(x) đổi dấu từ âm sang dương, do đó x = 2 là điểm cực tiểu của hàm số.

Lưu ý khi giải Bài 1 trang 75 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều

Khi giải bài tập này, các em cần lưu ý những điều sau:

Nắm vững các quy tắc đạo hàm cơ bản.
Sử dụng đúng các công thức đạo hàm.
Kiểm tra lại kết quả tính toán.
Vẽ đồ thị hàm số để kiểm tra lại kết quả khảo sát.

Tổng kết

Bài 1 trang 75 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp các em củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết và ví dụ minh họa trên, các em sẽ giải quyết bài tập này một cách hiệu quả.