Bài 5 trang 115 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều

Bài 5 trang 115 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều thuộc chương trình Giải tích, tập trung vào việc tính tích phân xác định và ứng dụng của nó. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức về nguyên hàm, quy tắc tính tích phân và các tính chất của tích phân.

Nội dung bài tập:

Bài tập yêu cầu tính các tích phân sau:

1. ∫₀¹ (x² + 1) dx
2. ∫₁² (3x² - 2x + 1) dx
3. ∫₀^π/2 sin(x) dx
4. ∫_-1¹ x³ dx

Hướng dẫn giải chi tiết:

Để giải các tích phân này, ta sử dụng các quy tắc sau:

• Quy tắc tính tích phân của một hàm số: ∫ f(x) dx = F(x) + C, trong đó F(x) là nguyên hàm của f(x) và C là hằng số tích phân.
• Quy tắc tính tích phân xác định: ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a).
• Các tính chất của tích phân: ∫_a^b [f(x) + g(x)] dx = ∫_a^b f(x) dx + ∫_a^b g(x) dx, ∫_a^b kf(x) dx = k∫_a^b f(x) dx (với k là hằng số).

Giải chi tiết từng câu:

Câu 1: ∫₀¹ (x² + 1) dx

Nguyên hàm của x² + 1 là (x³/3) + x. Vậy:

∫₀¹ (x² + 1) dx = [(1³/3) + 1] - [(0³/3) + 0] = 1/3 + 1 = 4/3

Câu 2: ∫₁² (3x² - 2x + 1) dx

Nguyên hàm của 3x² - 2x + 1 là x³ - x² + x. Vậy:

∫₁² (3x² - 2x + 1) dx = [(2³ - 2² + 2)] - [(1³ - 1² + 1)] = (8 - 4 + 2) - (1 - 1 + 1) = 6 - 1 = 5

Câu 3: ∫₀^π/2 sin(x) dx

Nguyên hàm của sin(x) là -cos(x). Vậy:

∫₀^π/2 sin(x) dx = [-cos(π/2)] - [-cos(0)] = -0 - (-1) = 1

Câu 4: ∫_-1¹ x³ dx

Nguyên hàm của x³ là (x⁴/4). Vậy:

∫_-1¹ x³ dx = [(1⁴/4)] - [(-1)⁴/4] = (1/4) - (1/4) = 0

Lưu ý quan trọng:

Khi tính tích phân xác định, cần chú ý đến giới hạn tích phân và đảm bảo rằng nguyên hàm được tính đúng. Ngoài ra, cần nắm vững các tính chất của tích phân để đơn giản hóa bài toán.

Bài tập tương tự:

Để củng cố kiến thức, bạn có thể tự giải các bài tập tương tự sau:

• ∫₀² (x³ - 3x + 2) dx
• ∫₁³ (2x + 1)² dx
• ∫₀^π cos(x) dx

Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn trên, bạn đã hiểu rõ cách giải Bài 5 trang 115 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều. Chúc bạn học tốt!