Bài 3 trang 119 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Bài 3 trang 119 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế. Bài toán này yêu cầu học sinh phải hiểu rõ các khái niệm về đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị của hàm số.

Nội dung bài toán

Bài 3 yêu cầu học sinh giải một bài toán cụ thể liên quan đến việc tìm đạo hàm của một hàm số và sử dụng đạo hàm để xác định các điểm cực trị của hàm số đó. Bài toán thường được trình bày dưới dạng một hàm số y = f(x) và yêu cầu học sinh tìm đạo hàm y', xác định các điểm mà y' = 0 hoặc không xác định, và sau đó xét dấu của y' để xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến và các điểm cực trị của hàm số.

Phương pháp giải

Để giải bài toán này, học sinh cần thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm y' của hàm số f(x). Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm đã học để tìm đạo hàm của hàm số.
2. Tìm các điểm mà y' = 0 hoặc không xác định. Giải phương trình y' = 0 để tìm các giá trị của x mà tại đó đạo hàm bằng 0. Đồng thời, xác định các điểm mà đạo hàm không xác định (ví dụ: mẫu số bằng 0).
3. Xét dấu của y' trên các khoảng xác định. Chia trục số thành các khoảng dựa trên các điểm mà y' = 0 hoặc không xác định. Chọn một điểm đại diện trong mỗi khoảng và tính giá trị của y' tại điểm đó. Dựa vào dấu của y', xác định khoảng đồng biến (y' > 0) và khoảng nghịch biến (y' < 0).
4. Xác định các điểm cực trị. Dựa vào sự thay đổi dấu của y', xác định các điểm cực đại (y' chuyển từ dương sang âm) và các điểm cực tiểu (y' chuyển từ âm sang dương).
5. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị. Thay các giá trị của x tại các điểm cực trị vào hàm số f(x) để tính giá trị tương ứng của y.

Ví dụ minh họa

Giả sử hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2. Ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm: y' = 3x² - 6x
2. Tìm điểm y' = 0: 3x² - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
3. Xét dấu y':
   • Khoảng (-∞, 0): y' > 0 (hàm số đồng biến)
   • Khoảng (0, 2): y' < 0 (hàm số nghịch biến)
   • Khoảng (2, +∞): y' > 0 (hàm số đồng biến)
4. Xác định cực trị:
   • x = 0: Điểm cực đại, f(0) = 2
   • x = 2: Điểm cực tiểu, f(2) = -2

Lưu ý quan trọng

Khi giải bài toán về đạo hàm, học sinh cần chú ý các điểm sau:

• Nắm vững các quy tắc tính đạo hàm của các hàm số cơ bản.
• Kiểm tra kỹ các điều kiện xác định của hàm số và đạo hàm.
• Sử dụng bảng xét dấu đạo hàm một cách chính xác để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến và các điểm cực trị.
• Kiểm tra lại kết quả bằng cách vẽ đồ thị hàm số hoặc sử dụng các công cụ tính toán trực tuyến.

Ứng dụng của bài toán

Việc giải bài toán về đạo hàm có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:

• Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số.
• Xác định các điểm tối ưu trong các bài toán tối ưu hóa.
• Nghiên cứu sự biến thiên của các hàm số trong các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật.

Hy vọng bài giải chi tiết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về Bài 3 trang 119 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều. Chúc bạn học tập tốt!

• Bài 1 trang 118 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
• Bài 2 trang 119 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
• Bài 4 trang 119 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều