Bài 1. Hai đường thẳng vuông góc

Bài 1. Hai đường thẳng vuông góc - SGK Toán 11 - Cánh diều: Giải chi tiết

I. Lý thuyết trọng tâm

1. Điều kiện vuông góc của hai đường thẳng trong không gian:

• Hai đường thẳng được gọi là vuông góc khi và chỉ khi góc giữa chúng bằng 90°.
• Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, ta thường sử dụng định lý về tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương của chúng.

2. Các định lý liên quan:

• Định lý 1: Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
• Định lý 2: Nếu hai mặt phẳng vuông góc thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó thì vuông góc với mặt phẳng kia.

II. Giải bài tập SGK

Câu 1: (Trang XX)

Nêu điều kiện để hai đường thẳng a và b vuông góc trong không gian.

Giải: Hai đường thẳng a và b vuông góc trong không gian khi và chỉ khi góc giữa chúng bằng 90° hoặc tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương của chúng bằng 0.

Câu 2: (Trang XX)

Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Khẳng định nào sau đây đúng?

1. SA vuông góc với BC.
2. SA vuông góc với AC.
3. SA vuông góc với BD.
4. SA vuông góc với AB.

Giải: Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABCD), bao gồm BC, AC, BD và AB. Do đó, tất cả các khẳng định đều đúng.

Bài 3: (Trang XX)

Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại điểm O. Biết góc giữa a và b bằng 60°. Tính góc giữa hai đường thẳng a và b’ là hình chiếu của b lên mặt phẳng vuông góc với a tại O.

Giải: Gọi α là góc giữa a và b, α = 60°. Gọi b’ là hình chiếu của b lên mặt phẳng vuông góc với a tại O. Khi đó, góc giữa a và b’ bằng góc giữa a và b, tức là 60°.

III. Bài tập vận dụng

Bài 4: (Trang XX)

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng AC vuông góc với B’C’.

Giải:

Xét hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Ta có:

• AC là đường chéo của đáy ABCD.
• B’C’ là đường chéo của đáy A’B’C’D’.

Vì ABCD và A’B’C’D’ là hai mặt phẳng song song nên AC song song với A’C’. Do đó, AC vuông góc với B’C’.

Bài 5: (Trang XX)

Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc. Tính góc giữa các cặp cạnh sau:

1. SA và BC.
2. SB và AC.
3. SC và AB.

Giải:

Vì SA, SB, SC đôi một vuông góc nên ta có thể sử dụng định lý Pytago để tính độ dài các cạnh và góc giữa chúng.

(Chi tiết giải các câu a, b, c sẽ được trình bày đầy đủ tại toan9.edu.vn)

IV. Kết luận

Bài 1. Hai đường thẳng vuông góc là nền tảng quan trọng để hiểu các khái niệm về quan hệ vuông góc trong không gian. Việc nắm vững lý thuyết và rèn luyện kỹ năng giải bài tập sẽ giúp các em tự tin hơn trong quá trình học tập môn Toán 11.

Hy vọng với lời giải chi tiết và dễ hiểu này, các em sẽ học tốt môn Toán 11 tại toan9.edu.vn!