Bài 1. Giới hạn của dãy số

Bài 1. Giới hạn của dãy số - SGK Toán 11 - Cánh diều

1. Giới thiệu chung về dãy số

Dãy số là một hàm số được định nghĩa trên tập hợp các số tự nhiên hoặc một tập con của nó. Mỗi số tự nhiên được gán với một số thực, được gọi là số hạng của dãy số. Dãy số có thể hữu hạn hoặc vô hạn.

Ví dụ:

• Dãy số hữu hạn: 1, 2, 3, 4, 5
• Dãy số vô hạn: 1, 2, 3, 4, 5, ...

2. Định nghĩa giới hạn của dãy số

Một dãy số (u_n) được gọi là có giới hạn L nếu với mọi số dương ε (epsilon) nhỏ tùy ý, tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi n > N, ta có |u_n - L| < ε.

Ký hiệu: lim_n→∞ u_n = L

L là giới hạn của dãy số (u_n).

3. Các tính chất của giới hạn dãy số

1. Giới hạn của một tổng: lim_n→∞ (u_n + v_n) = lim_n→∞ u_n + lim_n→∞ v_n (nếu cả hai giới hạn đều tồn tại)
2. Giới hạn của một hiệu: lim_n→∞ (u_n - v_n) = lim_n→∞ u_n - lim_n→∞ v_n (nếu cả hai giới hạn đều tồn tại)
3. Giới hạn của một tích: lim_n→∞ (u_n * v_n) = lim_n→∞ u_n * lim_n→∞ v_n (nếu cả hai giới hạn đều tồn tại)
4. Giới hạn của một thương: lim_n→∞ (u_n / v_n) = (lim_n→∞ u_n) / (lim_n→∞ v_n) (nếu cả hai giới hạn đều tồn tại và lim_n→∞ v_n ≠ 0)

4. Các dạng giới hạn thường gặp

4.1. Giới hạn bằng 0

Nếu lim_n→∞ u_n = 0, ta nói dãy số (u_n) hội tụ về 0.

Ví dụ: lim_n→∞ (1/n) = 0

4.2. Giới hạn bằng một số thực khác 0

Nếu lim_n→∞ u_n = L (L ≠ 0), ta nói dãy số (u_n) hội tụ về L.

Ví dụ: lim_n→∞ (1 + 1/n) = 1

4.3. Giới hạn vô cùng

Nếu dãy số (u_n) tăng hoặc giảm vô hạn, ta nói dãy số (u_n) phân kỳ về vô cùng.

Ví dụ: lim_n→∞ n = ∞

5. Bài tập ví dụ

Bài 1: Tính lim_n→∞ (2n + 1) / (n - 1)

Giải:

lim_n→∞ (2n + 1) / (n - 1) = lim_n→∞ (2 + 1/n) / (1 - 1/n) = (2 + 0) / (1 - 0) = 2

Bài 2: Tính lim_n→∞ (1 - 1/2ⁿ)

Giải:

lim_n→∞ (1 - 1/2ⁿ) = 1 - lim_n→∞ (1/2ⁿ) = 1 - 0 = 1

6. Kết luận

Bài học về giới hạn của dãy số là một bước khởi đầu quan trọng trong việc học tập giải tích. Việc nắm vững định nghĩa, các tính chất và các phương pháp tính giới hạn sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong tương lai.

Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng của mình.