Bài 4. Hai mặt phẳng song song

Bài 4. Hai mặt phẳng song song - SGK Toán 11 - Cánh diều

I. Lý thuyết cơ bản

Trong không gian, hai mặt phẳng được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung. Để xác định hai mặt phẳng song song, chúng ta cần dựa vào các điều kiện sau:

• Điều kiện cần và đủ: Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi chúng có hai vectơ pháp tuyến cùng phương.
• Hệ quả: Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng song song với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó song song.

II. Các định lý liên quan

Có một số định lý quan trọng liên quan đến hai mặt phẳng song song:

• Định lý 1: Nếu hai mặt phẳng song song thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và song song với mặt phẳng kia.
• Định lý 2: Nếu hai mặt phẳng song song thì mọi mặt phẳng cắt cả hai mặt phẳng đó sẽ chứa các đường thẳng song song.

III. Bài tập minh họa

Bài tập 1:

Cho hai mặt phẳng (P): x + 2y - z + 1 = 0 và (Q): 2x + 4y - 2z + 3 = 0. Chứng minh rằng hai mặt phẳng này song song.

Lời giải:

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n_P = (1, 2, -1). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là n_Q = (2, 4, -2). Ta thấy n_Q = 2n_P, do đó hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Vậy hai mặt phẳng (P) và (Q) song song.

Bài tập 2:

Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Mặt phẳng (SAM) song song với mặt phẳng (BCD). Chứng minh rằng SA song song với CD.

Lời giải:

Vì mặt phẳng (SAM) song song với mặt phẳng (BCD) nên giao tuyến của hai mặt phẳng này là một đường thẳng song song với BC. Do đó, giao tuyến của (SAM) và (SCD) song song với BC. Gọi giao điểm của (SAM) và SD là N. Khi đó MN song song với BC.

Xét tam giác SCD, ta có MN song song với BC và M là trung điểm của BC. Áp dụng định lý Thales, ta có N là trung điểm của SD. Do đó, SN = ND.

Xét tam giác SBD, ta có MN song song với BD và N là trung điểm của SD. Áp dụng định lý Thales, ta có SM = MB.

Xét hình thang ABCD, ta có M là trung điểm của BC và SM = MB. Do đó, SA song song với CD.

IV. Ứng dụng

Kiến thức về hai mặt phẳng song song có nhiều ứng dụng trong thực tế, đặc biệt trong lĩnh vực hình học không gian và thiết kế kiến trúc. Ví dụ, trong kiến trúc, việc xây dựng các mặt phẳng song song giúp tạo ra các không gian vuông góc và ổn định.

V. Luyện tập

1. Cho hai mặt phẳng (P): 3x - y + 2z - 1 = 0 và (Q): 6x - 2y + 4z - 5 = 0. Xác định vị trí tương đối của hai mặt phẳng này.
2. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Mặt phẳng (SIC) song song với mặt phẳng (ABD). Chứng minh rằng IC song song với BD.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về Bài 4. Hai mặt phẳng song song - SGK Toán 11 - Cánh diều. Hãy luyện tập thêm các bài tập để củng cố kiến thức và đạt kết quả tốt nhất!