Giải mục 2 trang 11, 12, 13 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Cho M = 2⁵, N = 2³. Tính và so sánh:

a) \({\log _2}\left( {MN} \right)\) và \({\log _2}M + {\log _2}N;\)

b) \({\log _2}\left( {\frac{M}{N}} \right)\) và \({\log _2}M - {\log _2}N.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \({\log _a}{a^\alpha } = \alpha .\)

Lời giải chi tiết:

a)

\(\begin{array}{l}{\log _2}\left( {MN} \right) = {\log _2}\left( {{2^5}{{.2}^3}} \right) = {\log _2}{2^8} = 8;\\{\log _2}M + {\log _2}N = {\log _2}{2^5} + {\log _2}{2^3} = 5 + 3 = 8\\ \Rightarrow {\log _2}\left( {MN} \right) = {\log _2}M + {\log _2}N\end{array}\)

b)

\(\begin{array}{l}{\log _2}\left( {\frac{M}{N}} \right) = {\log _2}\frac{{{2^5}}}{{{2^3}}}{\log _2}{2^2} = 2\\{\log _2}M - {\log _2}N = {\log _2}{2^5} - {\log _2}{2^3} = 5 - 3 = 2\\ \Rightarrow {\log _2}\left( {\frac{M}{N}} \right) = {\log _2}M - {\log _2}N\end{array}\)

Rút gọn biểu thức:

\(A = {\log _2}\left( {{x^3} - x} \right) - {\log _2}\left( {x + 1} \right) - {\log _2}\left( {x - 1} \right)\,\,\,\,\left( {x > 1} \right).\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \({\log _a}\left( {\frac{M}{N}} \right) = {\log _a}M - {\log _a}N\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{c}A = {\log _2}\left( {{x^3} - x} \right) - {\log _2}\left( {x + 1} \right) - {\log _2}\left( {x - 1} \right) = {\log _2}\frac{{{x^3} - x}}{{x + 1}} - {\log _2}\left( {x - 1} \right) = {\log _2}\frac{{x\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\\ = {\log _2}\frac{{x\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{x^2} - 1}} = {\log _2}x.\end{array}\)

Giả sử đã cho \({\log _a}M\) và ta muốn tính \({\log _b}M.\) Để tìm mối liên hệ giữa \({\log _a}M\) và \({\log _b}M,\) hãy thực hiện các yêu cầu sau:

a) Đặt \(y = {\log _a}M,\) tính M theo y;

b) Lấy loogarit theo cơ số b cả hai vế của kết quả nhận được trong câu a, từ đó suy ra công thức mới để tính y.

Phương pháp giải:

Sử dụng lý thuyết \(\alpha = {\log _a}M \Leftrightarrow {a^\alpha } = M.\)

Lời giải chi tiết:

a) \(y = {\log _a}M \Leftrightarrow M = {a^y}\)

b) Lấy loogarit theo cơ số b cả hai vế của \(M = {a^y}\) ta được

\({\log _b}M = {\log _b}{a^y} \Leftrightarrow {\log _b}M = y{\log _b}a \Leftrightarrow y = \frac{{{{\log }_b}M}}{{{{\log }_b}a}}\)

Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính \({\log _9}\frac{1}{{27}}.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \({\log _a}M = \frac{{{{\log }_b}M}}{{{{\log }_b}a}}.\)

Lời giải chi tiết:

\({\log _9}\frac{1}{{27}} = {\log _{{3^2}}}{3^{ - 3}} = \frac{{{{\log }_3}{3^{ - 3}}}}{{{{\log }_3}{3^2}}} = \frac{{ - 3}}{2}.\)